Как найти значения x, удовлетворяющие уравнению sin2x-10sin^2(x/2+pi/8)+7=0?

Filipp_2916

31

Для решения данного уравнения, нам необходимо найти значения \(x\), которые удовлетворяют уравнению \(\sin^2(2x) - 10\sin^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right) + 7 = 0\).

Давайте последовательно разберемся в каждом шаге решения этого уравнения.

Шаг 1: Преобразование уравнения
Мы можем заметить, что в данном уравнении имеются несколько \(\sin\) функций с разными аргументами. Для того чтобы упростить решение, мы воспользуемся тригонометрическими тождествами и преобразуем уравнение с помощью этих тождеств.

Применяя тригонометрические тождества, мы получаем следующее:

\[\sin^2(2x) - 10\sin^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right) + 7 = 0\]
\[(1 - \cos^2(2x)) - 10\left(1 - \cos^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)\right) + 7 = 0\]
\[\cos^2(2x) + 10\cos^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right) - 3 = 0\]

Шаг 2: Замена переменной и упрощение
Для упрощения уравнения, мы введем новую переменную \(t = \cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)\). Тогда наше уравнение преобразуется следующим образом:

\[\cos^2(2x) + 10\cos^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right) - 3 = 0\]
\[\cos^2(2x) + 10t^2 - 3 = 0\]

Шаг 3: Решение получившегося квадратного уравнения
Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно переменной \(t\). Мы можем решить его, используя стандартные методы.

\[\cos^2(2x) + 10t^2 - 3 = 0\]

Для того чтобы решить это уравнение, мы должны найти значения переменной \(t\), удовлетворяющие уравнению. Решение этого уравнения может быть достаточно сложным, и его можно получить, используя формулу квадратного корня или графический метод.

В окончательном ответе мы получим значения переменной \(t\). После этого, используя формулу \(t = \cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)\), мы найдём значения переменной \(x\), удовлетворяющие исходному уравнению \(\sin^2(2x) - 10\sin^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right) + 7 = 0\).