Как построить график функции у=х|х|+|х| -5х? При каких значениях прямая пересекает график только однажды?

Valentina

6

Чтобы построить график функции \(y = x|x| + |x| - 5x\), мы сначала определим, как функция будет себя вести в разных областях.

1. При \(x < 0\):
В этой области мы имеем \(|x| = -x\), поскольку абсолютное значение отрицательного числа даст нам положительное число. Также \(x|x|\) будет равно \(-x^2\), так как мы умножаем отрицательное число на отрицательное число.
Подставляя эти значения в функцию, получим:
\(y = -x^2 - x - 5x = -x^2 - 6x\)

2. При \(x \geq 0\):
В этой области \(|x| = x\), поскольку абсолютное значение положительного числа даст нам то же число. Также \(x|x|\) будет равно \(x^2\), поскольку мы умножаем положительное число на положительное число.
Подставляя эти значения в функцию, получим:
\(y = x^2 + x - 5x = x^2 - 4x\)

Теперь построим график, используя эти две части функции:

\[
\begin{array}{ccc}
x & y & \text{Часть функции} \\
\hline
-3 & 6 & \text{часть } y = -x^2 - 6x \\
-2 & 0 & \text{часть } y = -x^2 - 6x \\
-1 & 2 & \text{часть } y = -x^2 - 6x \\
0 & 0 & \text{часть } y = x^2 - 4x \\
1 & -3 & \text{часть } y = x^2 - 4x \\
2 & -4 & \text{часть } y = x^2 - 4x \\
3 & -3 & \text{часть } y = x^2 - 4x \\
\end{array}
\]

Теперь обратимся к второй части задачи, а именно к значениям x, при которых прямая пересекает график только однажды.
Для этого нам нужно найти корни уравнения \(y = x^2 - 4x\) и оценить их расположение на графике.

Решим уравнение:
\(x^2 - 4x = 0\)

Факторизуем его, вынося общий множитель:
\(x(x - 4) = 0\)

Таким образом, у нас есть два корня: \(x = 0\) и \(x = 4\).

Теперь проведем анализ графика, чтобы узнать, в каких областях он пересекает ось x только однажды.

На основе построенного графика, мы видим, что прямая y пересекает график функции только однажды в точках x = 0 и x = 4. Это подтверждается уравнением \(x(x - 4) = 0\), которое имеет решения только для этих значений x.

Таким образом, прямая пересекает график функции \(y = x|x| + |x| - 5x\) только однажды при значениях x = 0 и x = 4.