Как привести дроби x^2/x^2−u^2 и x−u/3x+3u к одному общему знаменателю?

Lastochka

65

Чтобы привести дроби \( \frac{x^2}{x^2 - u^2} \) и \( \frac{x - u}{3x + 3u} \) к одному общему знаменателю, мы должны найти такое выражение, которое одновременно является и знаменателем первой, и знаменателем второй дроби.

Для этого нам необходимо разложить знаменатели обеих дробей на множители и определить их общие множители.

Дробь \( \frac{x^2}{x^2 - u^2} \) имеет знаменатель в виде разности квадратов. Мы можем разложить его следующим образом: \( x^2 - u^2 = (x - u)(x + u) \).

Дробь \( \frac{x - u}{3x + 3u} \) имеет знаменатель \(3x + 3u\).

Теперь, когда мы знаем знаменатели обеих дробей, мы можем записать их с общим знаменателем. Заметим, что \(3x + 3u\) содержит общий множитель \(3\), поэтому можем записать его как \(3(x + u)\).

Таким образом, дроби приводятся к следующему общему знаменателю: \( (x - u)(x + u) \cdot 3(x + u) \).

Теперь, чтобы привести дроби к общему знаменателю, умножаем числитель и знаменатель каждой из них на недостающие множители.

Первая дробь:
\[ \frac{x^2}{x^2 - u^2} \cdot \frac{3(x + u)}{3(x + u)} = \frac{3x^2(x + u)}{3(x + u)(x - u)} \]

Вторая дробь:
\[ \frac{x - u}{3x + 3u} \cdot \frac{(x - u)(x + u)}{(x - u)(x + u)} = \frac{(x - u)^2(x + u)}{3(x + u)(x - u)} \]

Теперь обе дроби имеют общий знаменатель \(3(x + u)(x - u)\).

В итоге, приведенные дроби будут:
\[ \frac{3x^2(x + u)}{3(x + u)(x - u)} \quad и \quad \frac{(x - u)^2(x + u)}{3(x + u)(x - u)} \]

Обратите внимание, что в знаменателе присутствует множитель \(3(x + u)(x - u)\), который является коммонентом обоих дробей и позволяет сделать их сравнимыми.