Как разложить на множители многочлен: -6a^5 - 96 + 80a^2 + 5a^7?

Poyuschiy_Homyak

70

Конечно, я помогу вам с разложением данного многочлена на множители.

Для начала, давайте расположим все члены многочлена по убыванию степеней переменной a:

\(5a^7 - 6a^5 + 80a^2 - 96\)

Для разложения многочлена на множители, мы ищем общие множители у всех членов многочлена.

Начнем с факторизации наименьшей степени переменной a, которая составляет \(a^2\):

\(a^2(5a^5 - 6a^3 + 80 - 96/a^2)\)

Заметим, что оставшийся многочлен внутри скобок также можно разложить:

\(a^2(5a^5 - 6a^3 - 16)\)

Теперь давайте факторизуем это дальше. Мы видим, что внутри скобок у нас есть разница кубов между \(5a^5\) и \(6a^3\). Разницу кубов можно записать следующим образом:

\(a^2((\sqrt{5a^5})^3 - 2\sqrt{5a^5}\cdot(\sqrt{6a^3}) + (\sqrt{6a^3})^3)\)

Теперь мы можем применить формулу для разности кубов:

\(a^2((\sqrt{5a^5} - \sqrt{6a^3})((\sqrt{5a^5})^2 + \sqrt{5a^5}\cdot\sqrt{6a^3} + (\sqrt{6a^3})^2) - (\sqrt{6a^3})^3)\)

Упрощая это выражение, получаем:

\(a^2((\sqrt{5a^5} - \sqrt{6a^3})(5a^5 + 3a^4\sqrt{30a^3} + 3a^2\sqrt{30a^3}^2 + 6a^3) - 6a^9)\)

Таким образом, итоговое разложение данного многочлена на множители будет:

\(a^2(\sqrt{5a^5} - \sqrt{6a^3})(5a^5 + 3a^4\sqrt{30a^3} + 3a^2\sqrt{30a^3}^2 + 6a^3) - 6a^9\)