Как решить данную систему уравнений: (x+y)^2 = 2y, (x+y)^2

Donna

39

Спасибо за ваш вопрос! Давайте посмотрим, как решить данную систему уравнений.

У нас есть два уравнения: \((x+y)^2 = 2y\) и \((x+y)^2\).

Для начала, заметим, что в обоих уравнениях встречается \((x+y)^2\). Давайте введем новую переменную \(z = (x+y)^2\), чтобы упростить запись.

Тогда первое уравнение можно переписать в виде: \(z = 2y\).

Теперь подставим это выражение для \(z\) во второе уравнение: \(z = (x+y)^2\).

Таким образом, мы получаем систему уравнений:
\[
\begin{align*}
z &= 2y \\
z &= (x+y)^2
\end{align*}
\]

Поскольку оба уравнения равны \(z\), мы можем сравнить их и сказать, что \(2y = (x+y)^2\).

Теперь, чтобы решить эту квадратную уравнение, выполним следующие шаги:

1. Раскроем квадрат справа от знака равенства: \(2y = x^2 + 2xy + y^2\).

2. Перенесем все слагаемые налево и получим: \(x^2 + 2xy + y^2 - 2y = 0\).

3. Объединим слагаемые с одинаковыми переменными: \(x^2 + (2y)x + (y^2-2y) = 0\).

4. Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(x\), где коэффициенты перед \(x\) и \(x^2\) - это \(2y\) и \(1\) соответственно, а свободный член - это \(y^2-2y\).

5. Мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:
\[D = (2y)^2 - 4(1)(y^2-2y) = 4y^2 - 4(y^2-2y) = 8y.\]

6. Если дискриминант равен нулю (\(D = 0\)), получается одно решение, если дискриминант положительный (\(D > 0\)), получается два различных решения, а если дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), решений нет.

7. Найдем дискриминант: \(D = 8y\).

8. Если \(D = 0\), то имеем одно решение: \(x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(2y)}{2} = -y\).

9. Если \(D > 0\), то имеем два различных решения: \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\).

Таким образом, мы решили систему уравнений. Если было бы нужно найти значения переменных \(x\) и \(y\) и их зависимости от \(z\), мы могли бы использовать результаты этого решения.