Как решить систему уравнений методом сложения, если дано: 4х-у=3 и х-у=6?

Zvezdnaya_Galaktika_3875

58

Чтобы решить данную систему уравнений методом сложения, мы должны сложить два уравнения таким образом, чтобы коэффициент при одной из переменных сократился.

Давайте начнем с исходных уравнений:
\[4x - y = 3 \quad \text{(уравнение 1)}\]
\[x - y = 6 \quad \text{(уравнение 2)}\]

Для облегчения решения системы, умножим уравнение 2 на 4, чтобы коэффициенты при переменной \(x\) в обоих уравнениях совпали. Получим:
\[4(x - y) = 4 \cdot 6\]
\[4x - 4y = 24 \quad \text{(уравнение 3)}\]

Теперь сложим уравнения 1 и 3:
\[(4x - y) + (4x - 4y) = 3 + 24\]
\[8x - 5y = 27 \quad \text{(уравнение 4)}\]

Таким образом, мы получили новую систему уравнений:
\[8x - 5y = 27 \quad \text{(уравнение 4)}\]
\[4x - y = 3 \quad \text{(уравнение 1)}\]

Теперь решим эту систему методом сложения. Вычтем уравнение 1 из уравнения 4:
\[(8x - 5y) - (4x - y) = 27 - 3\]
\[8x - 5y - 4x + y = 24\]
\[4x - 4y = 24 \quad \text{(уравнение 5)}\]

На данном этапе мы получили новое уравнение 5, которое совпадает с первым уравнением в исходной системе уравнений. Это означает, что у нас есть лишь одно уравнение с двумя неизвестными, и мы можем его решить. Выразим переменную \(x\) из уравнения 5:
\[4x - 4y = 24\]
\[4x = 4y + 24\]
\[x = \frac{{4y + 24}}{{4}}\]
\[x = y + 6\]

Таким образом, мы получили выражение для переменной \(x\) через \(y\).

Подставим это выражение обратно в одно из исходных уравнений, например, в уравнение 1:
\[4x - y = 3\]
\[4(y + 6) - y = 3\]
\[4y + 24 - y = 3\]
\[3y = 3 - 24\]
\[3y = -21\]
\[y = -7\]

Теперь у нас есть значение \(y\), которое мы можем подставить в выражение для \(x\):
\[x = y + 6\]
\[x = -7 + 6\]
\[x = -1\]

Таким образом, решение данной системы уравнений состоит из двух переменных: \(x = -1\) и \(y = -7\). Мы получили значения переменных, которые удовлетворяют обоим исходным уравнениям.