Найдите произведение корней или корень, если он единственный, уравнения log0,25 (12-x^2) + log16 16x^2=0

Yabeda

55

Хорошо! Давайте решим задачу по порядку.

Дано уравнение \(\log_{0.25}(12-x^2) + \log_{16}(16x^2) = 0\).

Для начала, давайте приведем логарифмы к общему основанию. Используя свойство логарифма \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\), мы можем переписать уравнение следующим образом:

\(\frac{\log (12-x^2)}{\log (0.25)} + \frac{\log (16x^2)}{\log (16)} = 0\).

Мы знаем, что \(\log (0.25) = -2\) и \(\log (16) = 4\), поэтому уравнение примет вид:

\(\frac{\log (12-x^2)}{-2} + \frac{\log (16x^2)}{4} = 0\).

Далее, упростим выражение, умножив каждую дробь на соответствующий знаменатель:

\(\frac{1}{-2} \cdot \log (12-x^2) + \frac{1}{4} \cdot \log (16x^2) = 0\).

Это можно переписать в виде:

\(-\frac{1}{2} \cdot \log (12-x^2) + \frac{1}{4} \cdot \log (16x^2) = 0\).

Теперь, приведем дроби к общему знаменателю, умножив каждую дробь на 4:

\(-2 \cdot \log (12-x^2) + \log (16x^2) = 0\).

Далее, применим правило логарифма \(\log_a b^c = c \cdot \log_a b\) и преобразуем выражение:

\(\log((12-x^2)^{-2}) + \log((16x^2)^1) = 0\).

Так как сумма логарифмов с одним и тем же основанием равна логарифму произведения, упростим выражение:

\(\log\left(\frac{(12-x^2)^{-2}}{(16x^2)^1}\right) = 0\).

Теперь, чтобы выразить произведение корней или корень, применим свойство эквивалентности логарифма и экспоненты: если \(\log_a b = c\), то эквивалентно \(b = a^c\). Применим его к нашему уравнению:

\(\frac{(12-x^2)^{-2}}{(16x^2)^1} = 1\).

Так как \(a^0 = 1\), мы можем записать \((16x^2)^1\) как \((16x^2)^{\frac{(12-x^2)^{-2}}{(16x^2)^1}}\).

Теперь, возводим обе стороны уравнения в степень \(\frac{(12-x^2)^{-2}}{(16x^2)^1}\):

\((16x^2)^{\frac{(12-x^2)^{-2}}{(16x^2)^1}} = 1\).

Заметим, что \(16x^2\) входит только в основание степени, поэтому для упрощения уравнения, мы можем возвести и основание, и показатель в степень \(\frac{1}{16x^2}\):

\(((16x^2)^{\frac{1}{16x^2}})^{\frac{(12-x^2)^{-2}}{(16x^2)^1}} = 1\).

Так как \((a^b)^c = a^{b \cdot c}\), упростим выражение:

\((16x^2 \cdot (12-x^2)^{-2})^{\frac{1}{16x^2}} = 1\).

Выражение в скобках не зависит от \(x\) и равно константе. Значит, чтобы возвратиться к исходному уравнению, мы должны найти корни этой константы.

Таким образом, ответом на задачу будет:

"Произведение корней или корень уравнения \(\log_{0.25}(12-x^2) + \log_{16}(16x^2) = 0\) равно корню из константы \((16x^2 \cdot (12-x^2)^{-2})^{\frac{1}{16x^2}}\), где \(16x^2 \cdot (12-x^2)^{-2}\) является постоянным числом."