Как решить уравнение, выделив квадрат двучлена в выражении Х²+3х-10=0?

Zolotoy_Orel

44

Хочу начать с того, что решение этой задачи требует применения метода выделения квадрата. Дадим определение выделения квадрата. Если заданное уравнение имеет вид \(Ax^2 + Bx + C = 0\), где A, B и C — это некоторые числа, то выделение квадрата заключается в преобразовании уравнения в более простую форму, которая может быть решена дальше.

Итак, у нас есть заданное уравнение: \(x^2 + 3x - 10 = 0\). Давайте применим метод выделения квадрата к данному уравнению.

Первым шагом выделим квадратную часть \(x^2 + 3x\) в данном выражении. Чтобы это сделать, мы будем находить половину коэффициента при \(x\) и возводить ее в квадрат. В данном случае половина коэффициента при \(x\) равна \(\frac{3}{2}\), а ее квадрат равен \(\frac{9}{4}\).

Теперь, чтобы добавить и вычесть \(\frac{9}{4}\) в уравнении, не изменяя его значения, мы можем записать:

\(x^2 + 3x - 10 + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} = 0\).

Теперь давайте разложим это уравнение на две части:

\((x^2 + 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} - 10 = 0\).

Мы имеем квадратный трехчлен \(x^2 + 3x + \frac{9}{4}\), который может быть переписан в виде \((x + \frac{3}{2})^2\).

Таким образом, наше уравнение сводится к:

\((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - 10 = 0\).

Произведем вычисления:

\((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - \frac{40}{4} = 0\).

\((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{49}{4} = 0\).

Теперь у нас есть квадратное уравнение в простой форме: \(u^2 - \frac{49}{4} = 0\), где \(u = x + \frac{3}{2}\).

Произведем корень из обеих частей уравнения:

\(\sqrt{(x + \frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{49}{4}}\).

\(x + \frac{3}{2} = \pm\frac{7}{2}\).

Теперь решим это уравнение относительно \(x\):

\(x = -\frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}\).

Делаем вычисления:

\(x = -\frac{3}{2} + \frac{7}{2} = 2\).

или

\(x = -\frac{3}{2} - \frac{7}{2} = -5\).

Таким образом, ответом на задачу \(x^2 + 3x - 10 = 0\) являются два корня: \(x = 2\) и \(x = -5\).