Как сформулировать квадратное уравнение с целыми коэффициентами, которое имеет корни

Ящерица

41

Хорошо, давайте рассмотрим эту задачу подробно.

Квадратное уравнение имеет общий вид:
\[ax^2 + bx + c = 0,\]
где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты уравнения.

Чтобы сформулировать квадратное уравнение с целыми коэффициентами, которое имеет заданные корни, нам нужно использовать формулу квадратного уравнения. Формула квадратного уравнения гласит:
\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}.\]

Для начала, мы знаем, что у нас есть два заданных корня. Пусть они будут \(x_1\) и \(x_2\). Чтобы сформулировать уравнение, мы должны знать, как связаны корни с коэффициентами уравнения.

Мы можем записать общую формулу:
\[(x - x_1)(x - x_2) = 0.\]

Теперь раскроем скобки:
\[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0.\]

Теперь наша задача - выразить коэффициенты уравнения через заданные корни. Мы знаем, что сумма корней \(x_1\) и \(x_2\) равна \(-(b/a)\). Значит, мы можем записать:
\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}.\]
Мы также знаем, что произведение корней \(x_1\) и \(x_2\) равно \(c/a\). Значит, мы можем записать:
\[x_1x_2 = \frac{c}{a}.\]

Теперь подставим эти значения в нашу формулу:
\[x^2 - \left(-\frac{b}{a}\right)x + \frac{c}{a} = 0.\]

И сократим на \(a\):
\[ax^2 + bx + c = 0.\]

Таким образом, квадратное уравнение с целыми коэффициентами, имеющее заданные корни \(x_1\) и \(x_2\), будет иметь следующую форму:
\[ax^2 + bx + c = 0,\]
где \(a\), \(b\) и \(c\) выражаются через корни следующим образом:
\[a = 1,\]
\[b = -(x_1 + x_2),\]
\[c = x_1x_2.\]

Надеюсь, этот подробный ответ позволяет вам лучше понять, как сформулировать квадратное уравнение с целыми коэффициентами, имеющее заданные корни. Если у вас остались какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!