Как составить уравнение высоты треугольника на основе уравнений его сторон 11x+2y-21=0, 8x-3y+7=0 и 3x+5y+21=0?

Вероника

51

Чтобы составить уравнение высоты треугольника на основе уравнений его сторон, нам понадобится использовать следующий факт: высота треугольника, опущенная к одной из сторон, является перпендикуляром к этой стороне и проходит через вершину, противоположную этой стороне.

Итак, у нас есть уравнения трех сторон треугольника:

1) 11x + 2y - 21 = 0,
2) 8x - 3y + 7 = 0,
3) 3x + 5y + 21 = 0.

Для начала, найдем вершины треугольника, которые являются точками пересечения этих сторон. Для этого решим систему уравнений, состоящую из любых двух уравнений из списка.

Допустим, мы возьмем первые два уравнения:
\[
\begin{cases}
11x + 2y - 21 = 0, \\
8x - 3y + 7 = 0.
\end{cases}
\]

Для решения этой системы мы можем использовать метод подстановки или метод сложения/вычитания уравнений. Я воспользуюсь методом сложения/вычитания.

Первое уравнение умножим на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при \(y\) в обоих уравнениях сравнялись по модулю:

\[
\begin{cases}
33x + 6y - 63 = 0, \\
16x - 6y + 14 = 0.
\end{cases}
\]

Теперь сложим оба уравнения:

\[
49x - 49 = 0.
\]

Разделим обе части уравнения на 49:

\[
x = 1.
\]

Подставим значение \(x\) в первое уравнение:

\[
11 \cdot 1 + 2y - 21 = 0.
\]

Упростим это уравнение:

\[
2y - 10 = 0.
\]

Добавим 10 к обеим частям уравнения:

\[
2y = 10.
\]

Разделим обе части уравнения на 2:

\[
y = 5.
\]

Таким образом, найдены координаты первой вершины треугольника: \(A(1, 5)\).

Аналогичным образом можно найти координаты двух оставшихся вершин. Выберите любые другие два уравнения из списка и решите систему уравнений, а затем найдите соответствующие координаты вершин. Назовем эти вершины \(B(x_1, y_1)\) и \(C(x_2, y_2)\).

После нахождения координат всех трех вершин треугольника, мы можем использовать точки вершин для составления уравнения высоты, опущенной, например, из вершины \(A(1, 5)\).

Для составления уравнения высоты нам понадобятся координаты двух других вершин \(B(x_1, y_1)\) и \(C(x_2, y_2)\).

Пусть \(A(1, 5)\), \(B(x_1, y_1)\) и \(C(x_2, y_2)\) - это вершины треугольника.

Уравнение прямой, проходящей через две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), можно получить, используя следующую формулу:

\[
(y - y_1)(x_2 - x_1) = (y_2 - y_1)(x - x_1).
\]

Подставляя значения у нас, получим:

\[
(y - 5)(x_2 - 1) = (y_2 - 5)(x - 1).
\]

Это уравнение описывает прямую, проходящую через вершину \(A(1, 5)\) и образующую высоту треугольника.

Таким образом, уравнение высоты треугольника, опущенной из вершины \(A(1, 5)\), будет:

\[
(y - 5)(x_2 - 1) = (y_2 - 5)(x - 1).
\]

Пользуясь аналогичными методами, вы можете найти уравнения высот, опущенных из вершин \(B(x_1, y_1)\) и \(C(x_2, y_2)\).