Какая будет сумма наибольшего и наименьшего значений функции y=(x-2)^2e^-x на отрезке [0; 5]? Варианты ответов: 1

Светлана

19

Для решения этой задачи нам потребуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке и сложить их.

Шаг 1: Найдем производную функции y=(x-2)^2e^-x, чтобы найти экстремумы.

Вычислим производную функции y"(x):
\[y"(x) = \frac{d}{dx}[(x-2)^2e^{-x}]\]

Мы можем использовать правило производной произведения функций, которое гласит, что производная произведения двух функций равна произведению первой функции на производную второй функции плюс произведение второй функции на производную первой функции.

Применяя это правило к нашей функции, получим:
\[y"(x) = 2(x-2)e^{-x} + (x-2)^2(-e^{-x})\]

Это можно упростить, раскрыв скобки и объединив подобные слагаемые:
\[y"(x) = (2-4x+x^2)e^{-x}\]

Шаг 2: Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. Это будут кандидаты на экстремумы.

Чтобы найти такие точки, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
\[(2-4x+x^2)e^{-x} = 0\]

Так как экспонента \(e^{-x}\) всегда положительна и не обращается в нуль, мы можем решить уравнение:
\[2-4x+x^2 = 0\]

Найдем корни этого квадратного уравнения:
\[x^2 - 4x + 2 = 0\]

Для нахождения корней можно воспользоваться формулой дискриминанта \(D\):
\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8\]

Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня. Найдем их, воспользовавшись формулой:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}\]

Таким образом, у нас есть две кандидатуры на экстремумы: \(x_1 = 2 - \sqrt{2}\) и \(x_2 = 2 + \sqrt{2}\).

Шаг 3: Найдем значения функции y на границах отрезка [0; 5] и в найденных точках экстремума.

Найдем значения функции на границах отрезка:
\[y(0) = (0-2)^2e^0 = 4\]
\[y(5) = (5-2)^2e^{-5} = 9e^{-5}\]

Найдем значения функции в найденных точках экстремума:
\[y(x_1) = (2-\sqrt{2}-2)^2e^{-(2-\sqrt{2})} = e^{-\sqrt{2}}\]
\[y(x_2) = (2+\sqrt{2}-2)^2e^{-(2+\sqrt{2})} = e^{-\sqrt{2}}\]

Шаг 4: Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [0; 5].

Наименьшее значение функции будет в точке с минимальным значением функции. Сравним значения функции в найденных точках:
\[y(0) = 4\]
\[y(x_1) = e^{-\sqrt{2}}\]
\[y(x_2) = e^{-\sqrt{2}}\]
\[y(5) = 9e^{-5}\]

Можно заметить, что наименьшее значение функции будет \(e^{-\sqrt{2}}\), так как это значение меньше, чем значения функции на границах отрезка.

Наибольшее значение функции будет в точке с максимальным значением функции. Сравним значения функции в найденных точках:
\[y(0) = 4\]
\[y(x_1) = e^{-\sqrt{2}}\]
\[y(x_2) = e^{-\sqrt{2}}\]
\[y(5) = 9e^{-5}\]

Можно заметить, что наибольшее значение функции будет \(9e^{-5}\), так как это значение больше, чем значения функции на границах отрезка.

Шаг 5: Сложим наибольшее и наименьшее значения функции:
\[9e^{-5} + e^{-\sqrt{2}}\]

Таким образом, сумма наибольшего и наименьшего значений функции y=(x-2)^2e^-x на отрезке [0; 5] равна \(9e^{-5} + e^{-\sqrt{2}}\).

Ответ: нет варианта ответа среди предложенных.