Какая будет сумма всех натуральных чисел меньше или равных 160, таких что при делении на 8 остаток равен?

Ярмарка

46

Чтобы решить эту задачу, давайте вначале найдем все натуральные числа меньше или равных 160, у которых остаток от деления на 8 равен 1.

Ответ: 1, 9, 17, 25, ..., 153.

Затем найдем все натуральные числа меньше или равных 160, у которых остаток от деления на 8 равен 2.

Ответ: 2, 10, 18, 26, ..., 154.

Повторим аналогичные шаги для остатков 3, 4, 5, 6 и 7.

Для остатка 3: 3, 11, 19, 27, ..., 155.
Для остатка 4: 4, 12, 20, 28, ..., 156.
Для остатка 5: 5, 13, 21, 29, ..., 157.
Для остатка 6: 6, 14, 22, 30, ..., 158.
Для остатка 7: 7, 15, 23, 31, ..., 159.

Теперь найдем сумму чисел в каждой из этих последовательностей. Для этого используем формулу суммы арифметической прогрессии:

\[S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

где \(S\) - сумма, \(n\) - количество чисел, \(a_1\) - первое число последовательности, \(a_n\) - последнее число последовательности.

Сумма для остатка 1:
\[S_1 = \frac{n}{2}(1 + a_n)\]

Сумма для остатка 2:
\[S_2 = \frac{n}{2}(2 + a_n)\]

Сумма для остатка 3:
\[S_3 = \frac{n}{2}(3 + a_n)\]

Сумма для остатка 4:
\[S_4 = \frac{n}{2}(4 + a_n)\]

Сумма для остатка 5:
\[S_5 = \frac{n}{2}(5 + a_n)\]

Сумма для остатка 6:
\[S_6 = \frac{n}{2}(6 + a_n)\]

Сумма для остатка 7:
\[S_7 = \frac{n}{2}(7 + a_n)\]

Теперь найдем количество чисел в каждой последовательности. Для этого мы должны вычислить разность между последним числом и первым числом и затем добавить 1.

Количество чисел для остатка 1:
\[n_1 = \frac{a_n - 1}{8} + 1\]

Количество чисел для остатка 2:
\[n_2 = \frac{a_n - 2}{8} + 1\]

Количество чисел для остатка 3:
\[n_3 = \frac{a_n - 3}{8} + 1\]

Количество чисел для остатка 4:
\[n_4 = \frac{a_n - 4}{8} + 1\]

Количество чисел для остатка 5:
\[n_5 = \frac{a_n - 5}{8} + 1\]

Количество чисел для остатка 6:
\[n_6 = \frac{a_n - 6}{8} + 1\]

Количество чисел для остатка 7:
\[n_7 = \frac{a_n - 7}{8} + 1\]

Теперь, чтобы найти общую сумму всех натуральных чисел, мы просто сложим суммы для каждого остатка. То есть:

\[S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 + S_6 + S_7\]

Пожалуйста, прочтите данные шаги и формулы тщательно, чтобы полностью понять решение задачи. Если у вас возникнут какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать.