Какая должна быть минимальная угловая скорость вращения сосуда, чтобы маленький шарик, лежащий на дне сосуда
Какая должна быть минимальная угловая скорость вращения сосуда, чтобы маленький шарик, лежащий на дне сосуда, был выброшен из него? Сосуд имеет форму расширяющегося усеченного конуса с радиусом дна R = 0,1 м и углом наклона стенок a = 60°. Ось вращения сосуда - вертикальная ось OO¹. (Не учитывать трение шарика о стенки сосуда. Принять ускорение свободного падения равным 10 м/с²)
Hrustal 33
Чтобы решить эту задачу, нам необходимо определить минимальную угловую скорость вращения сосуда, при которой маленький шарик будет выброшен из него.Начнем с определения сил, действующих на шарик внутри сосуда. В данной задаче мы не учитываем трение шарика о стенки сосуда, поэтому на шарик будут действовать только две силы: сила тяжести \(F_g\) и сила реакции \(F_r\), которую шарик ощущает от поверхности сосуда.
Первым шагом, найдем эти силы. Сила тяжести \(F_g\) представляет собой произведение массы шарика \(m\) на ускорение свободного падения \(g\):
\[F_g = mg\]
Заметим, что шарик находится в покое на дне сосуда, поэтому сила реакции \(F_r\) должна быть равна по величине и противоположно направлена силе тяжести:
\[F_r = -F_g\]
Теперь мы можем перейти к анализу движения шарика внутри сосуда. Чтобы шарик был выброшен из сосуда, внутренняя сила реакции должна превысить силу тяжести.
Угловая скорость вращения сосуда связана с ускорением, создаваемым этой вращающейся системой. Зная, что сила реакции \(F_r\) можно интерпретировать как центростремительную силу, мы можем использовать второй закон Ньютона для вращательного движения:
\[F_r = mR\omega^2\]
где \(R\) - расстояние от оси вращения до шарика, а \(\omega\) - угловая скорость вращения сосуда.
Таким образом, чтобы шарик был выброшен из сосуда, сила реакции должна превышать силу тяжести, то есть:
\[mR\omega^2 > mg\]
Подставим значения, которые даны в условии задачи: \(R = 0,1\) м, \(g = 10\) м/с², и решим для \(\omega\):
\[m \cdot 0,1 \cdot \omega^2 > m \cdot 10\]
Увидим, что масса шарика \(m\) сократится при решении, и получим:
\[0,1 \cdot \omega^2 > 10\]
Для нахождения минимальной угловой скорости вращения, возьмем равенство:
\[0,1 \cdot \omega^2 = 10\]
Решая это уравнение, получим:
\[\omega^2 = \frac{{10}}{{0,1}} = 100\]
\[\omega = \sqrt{100} = 10 \frac{{\text{рад}}}{{\text{с}}} \]
Таким образом, минимальная угловая скорость вращения сосуда должна составлять \(10\) рад/с, чтобы маленький шарик был выброшен из него.
Убедитесь, что все использованные в задаче величины имеют одинаковую размерность (масса в килограммах, расстояние в метрах и т.д.), чтобы получить корректный ответ.