Какая должна быть высота коробки, чтобы ее объем был наибольшим, если из прямоугольного листа картона со сторонами

Таинственный_Маг

25

Чтобы найти высоту коробки, при которой ее объем будет наибольшим, нужно использовать оптимизацию функции объема. Давайте разберемся пошагово.

1. Представим себе прямоугольный лист картона со сторонами 80 см и 50 см.

2. Чтобы сделать коробку прямоугольной формы, мы должны вырезать квадраты с каждого из краев. Пусть сторона одного из этих квадратов будет \(x\) сантиметров.

3. После вырезания квадратов и залома краев картона, образуется коробка без верхней крышки. Высота этой коробки будет \(x\) сантиметров.

4. Одна сторона коробки будет иметь длину \(80 - 2x\) сантиметров, а другая сторона - \(50 - 2x\) сантиметров.

5. Теперь мы можем выразить объем коробки через известные данные. Формула объема прямоугольной коробки: объем = длина * ширина * высота.

6. Таким образом, объем коробки равен \((80 - 2x) \cdot (50 - 2x) \cdot x\).

7. Чтобы найти максимальный объем, мы должны найти максимум этой функции. Для этого возьмем производную функции по \(x\) и приравняем ее к нулю: \(\dfrac{dV}{dx} = 0\).

8. Выполним этот шаг. Найдем производную функции объема и приравняем ее к нулю:

\[ \dfrac{dV}{dx} = (80 - 2x) \cdot (50 - 2x) + x \cdot (-2) \cdot (50 - 2x) + x \cdot (80 - 2x) \cdot (-2) = 0\]

Упростим эту формулу:

\[ (80 - 2x) \cdot (50 - 2x) - 2x(50 - 2x) + x(80 - 2x) = 0\]

\[ (80 - 2x)(50 - 2x - 2 \cdot (50 - 2x)) = 0\]

\[ (80 - 2x)(50 - 100 + 4x) = 0\]

\[ (80 - 2x)(4x - 50) = 0\]

9. У нас есть два множителя, и мы должны решить два уравнения, чтобы найти значения \(x\), при которых они равны нулю:

a) \(80 - 2x = 0\)

Решим это уравнение:

\[ 80 - 2x = 0\]
\[ 2x = 80\]
\[ x = 40\]

b) \(4x - 50 = 0\)

Решим это уравнение:

\[ 4x - 50 = 0\]
\[ 4x = 50\]
\[ x \approx 12.5\]

10. Мы получили два значения \(x\), но кажется, что \(x = 40\) является неадекватным, так как это приведет к отрицательным сторонам коробки, что невозможно. Поэтому, выбираем \(x \approx 12.5\) см.

11. Теперь мы можем найти высоту коробки, подставив \(x \approx 12.5\) в уравнение высоты коробки: \(12.5\) см.

Таким образом, чтобы объем коробки был наибольшим, высота коробки должна быть примерно равна \(12.5\) см.