Какая площадь осевого сечения и боковой поверхности усеченного конуса с радиусом большего основания 7 см, образующей

Забытый_Замок

63

Для решения данной задачи, нам понадобится знание о площади осевого сечения и боковой поверхности усеченного конуса. Давайте посмотрим нашу задачу более подробно.

У нас есть усеченный конус с радиусом большего основания \(r_1 = 7\) см и радиусом меньшего основания \(r_2 = 5\) см. Также дана высота конуса \(h\). Мы должны найти площадь осевого сечения и боковую поверхность такого конуса.

Для начала, найдем радиусы слоев конуса. Радиус слоя, расположенного на высоте \(h_1\), можно найти с помощью подобия треугольников данного конуса и его полной высоты \(h\).

Мы можем записать пропорцию:

\(\frac{{r_1 - r_2}}{{h_1}} = \frac{{r_1}}{{h}}\)

Теперь найдем значение \(h_1\):

\(h_1 = \frac{{h \cdot (r_1 - r_2)}}{{r_1}}\)

Таким образом, радиус слоя на высоте \(h_1\) составляет \(r_1 - h_1\).

Теперь, зная радиусы каждого слоя, можно найти площадь осевого сечения. Площадь осевого сечения конуса находится суммированием площадей всех слоев, используя формулу площади круга:

\(S_{os} = \pi \cdot (r_1^2 - (r_1 - h_1)^2)\)

Теперь перейдем к нахождению боковой поверхности усеченного конуса. Боковая поверхность конуса представляет собой поверхность, образованную вращением прямоугольного треугольника вокруг оси, проходящей через вершину конуса.

Для каждого слоя конуса, его боковая поверхность равна длине окружности окружности вращения с радиусом, равным среднему арифметическому радиусов двух соседних слоев. Таким образом, длина окружности каждого слоя равна:

\(L = 2 \pi \cdot \frac{{r_1 + r_2}}{2}\)

Тогда, общая боковая поверхность можно найти, сложив длины окружностей для всех слоев:

\(S_{bp} = L \cdot h\)

Теперь у нас есть все необходимые формулы и мы можем рассчитать площадь осевого сечения и боковую поверхность усеченного конуса. Давайте выполним вычисления.

Подставим в формулу для \(h_1\) значения \(h = 5\) см и \(r_1 = 7\) см:

\(h_1 = \frac{{5 \cdot (7 - 5)}}{{7}} = \frac{{10}}{{7}}\) см

Теперь можем вычислить площадь осевого сечения:

\(S_{os} = \pi \cdot (7^2 - (7 - \frac{{10}}{{7}})^2)\)

\(S_{os} = \pi \cdot (49 - (7 - \frac{{10}}{{7}})^2)\)

\(S_{os} = \pi \cdot (49 - (7 - \frac{{100}}{{49}})^2)\)

\(S_{os} = \pi \cdot (49 - (7 - \frac{{100}}{{49}})(7 - \frac{{100}}{{49}}))\)

\(S_{os} = \pi \cdot (49 - (7 - \frac{{100}}{{49}})(7 - \frac{{100}}{{49}}))\)

\(S_{os} \approx 28.23\) см²

Теперь найдем боковую поверхность усеченного конуса, подставив известные значения в формулу:

\(S_{bp} = 2 \pi \cdot \frac{{7 + 5}}{2} \cdot 5\)

\(S_{bp} = 12.5 \pi\) см²

Таким образом, площадь осевого сечения усеченного конуса составляет примерно \(28.23\) см², а боковая поверхность - \(12.5 \pi\) см².