Какая третья координата орта вектора, указывающего направление наиболее быстрого убывания функции u =3^(x-y^2-z

Stepan

63

Чтобы найти третью координату орта вектора, указывающего направление наиболее быстрого убывания функции \(u = 3^{(x-y^2-z)}\) в точке \(m(1, y_0, z_0)\), нам понадобится использовать градиент.

Градиент функции u — это вектор, составленный из ее частных производных по каждой переменной. Для данной функции имеем:

\[\nabla u = \left(\frac{{\partial u}}{{\partial x}}, \frac{{\partial u}}{{\partial y}}, \frac{{\partial u}}{{\partial z}}\right) \]

Для нахождения градиента, нам понадобится вычислить каждую частную производную.

1. Вычислим \(\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\):
\[ \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial}}{{\partial x}} \left(3^{(x-y^2-z)}\right) \]

Поскольку функция \(3^{(x-y^2-z)}\) содержит только переменную \(x\), то все остальные переменные \(y\) и \(z\) считаем константами:

\[ \frac{{\partial}}{{\partial x}} \left(3^{(x-y^2-z)}\right) = 3^{(x-y^2-z)} \cdot \ln(3) \]

2. Вычислим \(\frac{{\partial u}}{{\partial y}}\):
\[ \frac{{\partial u}}{{\partial y}} = \frac{{\partial}}{{\partial y}} \left(3^{(x-y^2-z)}\right) \]

Поскольку функция \(3^{(x-y^2-z)}\) содержит только переменную \(y\), то все остальные переменные \(x\) и \(z\) считаем константами:

\[ \frac{{\partial}}{{\partial y}} \left(3^{(x-y^2-z)}\right) = -2y \cdot 3^{(x-y^2-z)} \cdot \ln(3) \]

3. Вычислим \(\frac{{\partial u}}{{\partial z}}\):
\[ \frac{{\partial u}}{{\partial z}} = \frac{{\partial}}{{\partial z}} \left(3^{(x-y^2-z)}\right) \]

Поскольку функция \(3^{(x-y^2-z)}\) содержит только переменную \(z\), то все остальные переменные \(x\) и \(y\) считаем константами:

\[ \frac{{\partial}}{{\partial z}} \left(3^{(x-y^2-z)}\right) = -3 \cdot 3^{(x-y^2-z)} \cdot \ln(3) \]

Теперь, когда у нас есть значения всех частных производных, мы можем составить вектор градиента:

\[\nabla u = \left(3^{(x-y^2-z)} \cdot \ln(3), -2y \cdot 3^{(x-y^2-z)} \cdot \ln(3), -3 \cdot 3^{(x-y^2-z)} \cdot \ln(3)\right) \]

В точке \(m(1, y_0, z_0)\), чтобы найти орт вектора, направленного в сторону наиболее быстрого убывания функции, нам нужно нормализовать вектор градиента. Это делается путем деления каждой координаты вектора на его длину:

\[\text{орт вектора} = \frac{\nabla u}{|\nabla u|} \]