Какие четыре неотрицательных числа задумал Антон, если он посчитал все возможные попарные суммы и получил числа

Amina

46

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся, как Антон мог получить эти четыре числа через попарные суммы.

У нас есть четыре числа: 1, 2, 3 и 4. Давайте предположим, что Антон задумал числа a, b, c и d.

Первая парная сумма получается путем сложения двух из четырех чисел. Пусть мы сложим a и b, чтобы получить 1. Это означает, что a + b = 1.

Вторая парная сумма - это сложение двух других чисел. Пусть мы сложим a и c, чтобы получить 2. Это означает, что a + c = 2.

Третья парная сумма - это сложение разных двух чисел. Пусть мы сложим a и d, чтобы получить 3. Это означает, что a + d = 3.

И, наконец, последняя парная сумма - это сложение двух оставшихся чисел. Пусть мы сложим b и c, чтобы получить 4. Это означает, что b + c = 4.

Итак, у нас есть система уравнений:

\[
\begin{align*}
a + b &= 1 \\
a + c &= 2 \\
a + d &= 3 \\
b + c &= 4 \\
\end{align*}
\]

Мы можем использовать эти уравнения для нахождения значений a, b, c и d.

Уравнение (1) говорит нам, что a + b = 1. Мы можем решить его, выразив a через b:

\[a = 1 - b\]

Теперь мы можем заменить a в других уравнениях:

\[
\begin{align*}
(1 - b) + c &= 2 \\
(1 - b) + d &= 3 \\
b + c &= 4 \\
\end{align*}
\]

Мы можем исключить a из уравнений и получить:

\[
\begin{align*}
c &= 1 + b \\
d &= 2 + b \\
b + c &= 4 \\
\end{align*}
\]

Теперь мы можем использовать уравнение (3): b + c = 4. Подставим значения c из уравнения (4) и получим:

\[b + (1 + b) = 4\]

Раскроем скобки:

\[2b + 1 = 4\]

Вычтем 1 из обеих сторон:

\[2b = 3\]

Разделим обе стороны на 2:

\[b = \frac{3}{2} = 1.5\]

Теперь мы можем найти значения c и d, используя уравнения (4) и (5):

\[
\begin{align*}
c &= 1 + b \\
c &= 1 + 1.5 \\
c &= 2.5 \\
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
d &= 2 + b \\
d &= 2 + 1.5 \\
d &= 3.5 \\
\end{align*}
\]

Наконец, мы можем найти значение a, используя уравнение (2):

\[
\begin{align*}
a &= 1 - b \\
a &= 1 - 1.5 \\
a &= -0.5 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, четыре неотрицательных числа, которые задумал Антон: -0.5, 1.5, 2.5 и 3.5.