Какие функции можно выбрать в качестве фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального

Letuchaya_Mysh

12

Корни характеристического уравнения \( \lambda_1 = 1 \) и \( \lambda_2 = 0 \) указаны с учетом кратности. Для определения фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, мы должны использовать следующие функции:

1. Для каждого корня характеристического уравнения, мы используем экспоненциальную функцию соответствующего вида:
- Если корень имеет кратность 1, то мы используем функцию вида \( e^{\lambda x} \).
- Если корень имеет кратность более 1, то мы используем функции вида \( x^k e^{\lambda x} \), где \( k \) принимает значения от 0 до \( \text{кратность}-1 \).

В нашем случае, у нас есть корень \( \lambda_1 = 1 \) с кратностью 1 и корень \( \lambda_2 = 0 \) с кратностью 2. Таким образом, фундаментальная система решений будет содержать следующие функции:

1. Функция для корня \( \lambda_1 = 1 \):
\( e^{1x} \)

2. Функции для корня \( \lambda_2 = 0 \):
- \( x^0 e^{0x} = 1 \cdot e^{0x} = e^{0x} \)
- \( x^1 e^{0x} = x \cdot e^{0x} = x \)

Таким образом, фундаментальная система решений будет состоять из трех функций:
\( e^{x}, e^{0x}, x \cdot e^{0x} \)