Какие интервалы выпуклости и вогнутости имеет функция у=2х^4 - 12х^2?

Инна

30

Для определения интервалов выпуклости и вогнутости функции необходимо проанализировать вторую производную данной функции. Если вторая производная положительна на некотором интервале, то функция выпукла на этом интервале. Если вторая производная отрицательна на некотором интервале, то функция вогнута на этом интервале.

Давайте найдем первую и вторую производные данной функции и проанализируем их знаки.

1. Найдем первую производную функции \(y = 2x^4 - 12x^2\).

Для этого применим правило дифференцирования для степенной функции и константы:
\[y" = \frac{d}{dx}(2x^4 - 12x^2) = 8x^3 - 24x.\]

2. Теперь найдем вторую производную функции:
\[y"" = \frac{d}{dx}(8x^3 - 24x) = 24x^2 - 24.\]

3. Анализируем знаки второй производной:

Теперь рассмотрим два случая: когда \(24x^2 - 24 > 0\) и когда \(24x^2 - 24 < 0\).

а) Когда \(24x^2 - 24 > 0\):

Решаем неравенство:
\[24x^2 - 24 > 0.\]

Выносим общий множитель:
\[24(x^2 - 1) > 0.\]

Решаем получившееся квадратное уравнение:
\[x^2 - 1 > 0.\]

Факторизуем:
\((x - 1)(x + 1) > 0.\)

Рассматриваем знаки слева и справа от корней:
1) При \(x < -1\), оба множителя отрицательны, а значит, их произведение положительно.
2) При \(-1 < x < 1\), левый множитель отрицателен, а правый положителен, следовательно, их произведение отрицательно.
3) При \(x > 1\), оба множителя положительны, а значит, их произведение положительно.

Итак, интервалы, на которых выполняется неравенство \(24x^2 - 24 > 0\), имеют вид: \((-\infty, -1) \cup (1, +\infty)\).

б) Когда \(24x^2 - 24 < 0\):

Решаем неравенство:
\[24x^2 - 24 < 0.\]

Выносим общий множитель:
\[24(x^2 - 1) < 0.\]

Решаем получившееся квадратное уравнение:
\[x^2 - 1 < 0.\]

Факторизуем:
\((x - 1)(x + 1) < 0.\)

Рассматриваем знаки слева и справа от корней:
1) При \(x < -1\), оба множителя отрицательны, а значит, их произведение положительно.
2) При \(-1 < x < 1\), левый множитель отрицателен, а правый положителен, следовательно, их произведение отрицательно.
3) При \(x > 1\), оба множителя положительны, а значит, их произведение положительно.

Итак, интервалы, на которых выполняется неравенство \(24x^2 - 24 < 0\), имеют вид: \((-1, 1)\).

4. Итоговый ответ:

Исходя из знаков второй производной на различных интервалах, можно сделать следующие выводы:

1) Функция является выпуклой на интервалах \((-\infty, -1) \cup (1, +\infty)\).
2) Функция является вогнутой на интервале \((-1, 1)\).

Надеюсь, ответ был понятен и полезен для вас!