Какие координаты имеет точка, которая является равноудалённой как от точки A (-1; 4), так и от точки B

Gosha

46

Чтобы найти координаты точки, которая является равноудаленной от точки A(-1; 4) и от точки B, нам понадобится найти середину отрезка AB.

Для начала, давайте найдем координаты середины отрезка AB.

Формула нахождения середины отрезка AB:

\[
\left( \frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2} \right)
\]

Где:
\(x_1\) и \(y_1\) - координаты точки A
\(x_2\) и \(y_2\) - координаты точки B

У нас есть точка A(-1; 4) с координатами \(x_1 = -1\) и \(y_1 = 4\), и точка B с неизвестными координатами \(x_2\) и \(y_2\).

Теперь нужно использовать факт о том, что искомая точка должна быть равноудаленной от точек A и B.

Расстояние между точками A и B выражается через формулу расстояния между двумя точками:

\[
d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}
\]

Расстояние между точкой A и искомой точкой должно быть равно расстоянию между точкой B и искомой точкой.

Выглядит это так:

\[
\sqrt{{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2}} = \sqrt{{(x_2 - x)^2 + (y_2 - y)^2}}
\]

Мы знаем, что середина отрезка AB - это искомая точка, поэтому \(x_2\) и \(y_2\) равны координатам середины отрезка AB.

Итак, мы можем переписать уравнение, заменив \(x_2\) и \(y_2\) на координаты середины отрезка AB:

\[
\sqrt{{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2}} = \sqrt{{\left( \frac{{x_1 + x_2}}{2} - x \right)^2 + \left( \frac{{y_1 + y_2}}{2} - y \right)^2}}
\]

Подставим известные значения:

\[
\sqrt{{(x + 1)^2 + (y - 4)^2}} = \sqrt{{\left( \frac{{-1 + x_2}}{2} - x \right)^2 + \left( \frac{{4 + y_2}}{2} - y \right)^2}}
\]

Теперь у нас есть уравнение, в котором х и y - неизвестные координаты точки, которую мы ищем.

Решим это уравнение, приведя его к квадрату:

\[
(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = \left( \frac{{x_2 - 1}}{2} - x \right)^2 + \left( \frac{{y_2 + 4}}{2} - y \right)^2
\]

Раскроем скобки и сократим подобные члены:

\[
x^2 + 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = \frac{{x_2^2 - 2x_2 + 1}}{4} - \frac{{x_2}}{2}x + \frac{{x_2^2 - 2x_2 + 1}}{4} + \frac{{y_2^2 + 8y_2 + 16}}{4} - \frac{{y_2}}{2}y + \frac{{y_2^2 + 8y_2 + 16}}{4}
\]

Упростим полученное уравнение:

\[
4x^2 + 8x + 4 + 4y^2 - 32y + 64 = x_2^2 - 2x_2 + 1 - 2x_2x + x^2 + y_2^2 + 8y_2 + 16 - 2y_2y + y^2 + y_2^2 + 8y_2 + 16
\]

Сгруппируем члены с x и y:

\[
3x^2 - 8x + 3y^2 - 32y + 64 = 2x_2^2 - 4x_2 + x^2 - 2x_2x + 2y_2^2 - 4y_2 + y^2 - 2y_2y
\]

Далее, как x^2 и y^2 стоят у нас оба слева и с правой стороны равенства, обозначим 3x^2 - 8x + 3y^2 - 32y + 64 как M и 2x_2^2 - 4x_2 + x^2 - 2x_2x + 2y_2^2 - 4y_2 + y^2 - 2y_2y как N.

Μ = Ν

3x^2 - 8x + 3y^2 - 32y + 64 = 2x_2^2 - 4x_2 + x^2 - 2x_2x + 2y_2^2 - 4y_2 + y^2 - 2y_2y

Теперь сгруппируем слагаемые с x и y:

3x^2 + x^2 - 8x - 2x_2x - 2x_2^2 + 2y^2 - 2y_2y + y^2 - 32y - 4y_2 + 3y^2 + 2y_2^2 - 4y_2 + 64 = 0

Соберем квадраты и сократим подобные члены:

(3 + 1)x^2 + (-8 - 2x_2)x + (2 + 2)y^2 + (-32 - 2y_2)y + (64 + 2y_2^2 - 4y_2 + 3y^2) = 0

4x^2 - 10x - 2x_2x + 4y^2 - 34y - 2y_2y + 2y_2^2 = 0

Теперь давайте разберемся со сложными членами. Мы видим, что -2x_2x и -2y_2y мешают нам дальше решать уравнение. Чтобы с ними справиться, введем промежуточные переменные p и q:

p = -2x_2
q = -2y_2

Мы заменим -2x_2x и -2y_2y на px и qy в уравнении:

4x^2 - 10x + px + 4y^2 - 34y + qy + 2y_2^2 = 0

Теперь у нас получается квадратное уравнение:

4x^2 + (-10 + p)x + 4y^2 + (-34 + q)y + 2y_2^2 = 0

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать метод дискриминанта. Для этого, у него нужно быть равным 0.

Для уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\), дискриминант выражается следующей формулой:

\[
D = b^2 - 4ac
\]

Давайте применим эту формулу к нашему уравнению для х и у:

Для x:

\[
D_x = (-10 + p)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2y_2^2
\]

Для y:

\[
D_y = (-34 + q)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2y_2^2
\]

Если D_x и D_y равны нулю, то у нас есть два корня для x и y, иначе уравнение не имеет решений.

Решим эти уравнения и найдем D_x и D_y:

\[
D_x = (-10 + p)^2 - 32y_2^2
\]
\[
D_y = (-34 + q)^2 - 32y_2^2
\]

Теперь, зная значения D_x и D_y, мы можем решить уравнение.

Если D_x = 0 и D_y = 0, то у нас есть два корня для x и y, которые являются координатами искомой точки.

Если D_x и D_y не равны нулю, то данное уравнение не имеет решения.

Пожалуйста, учтите, что мы полностью расписали понятное объяснение всего процесса поиска и решения задачи. Однако, на практике вы можете использовать промежуточные переменные и сокращать некоторые выражения для более удобного и краткого решения. Но в данном объяснении я старался охватить все шаги.