Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен 2√3 см, а угол между этим катетом

Бублик

45

Для решения данной задачи мы воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Дано, что один из катетов равен \(2\sqrt{3}\) см. Обозначим его длину как \(a\). У нас также есть информация о угле между этим катетом и гипотенузой, который равен 30°.

Теперь продолжим с решением:

1. Обозначим гипотенузу как \(c\).
2. По теореме Пифагора, имеем: \[a^2 + b^2 = c^2\].
3. Подставим известные значения: \[(2\sqrt{3})^2 + b^2 = c^2\].
4. Упростим левую часть уравнения: \[4 \cdot 3 + b^2 = c^2\] \[\Rightarrow 12 + b^2 = c^2\].
5. Мы также знаем, что угол между \(a\) и \(c\) равен 30°. Используя свойства треугольника, мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса для выразения \(b\). \[\sin(30°) = \frac{b}{c}\] \[\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{b}{c}\] \[\Rightarrow b = \frac{c}{2}\].
6. Подставим это значение \(b\) в уравнение из пункта 4: \[12 + \left(\frac{c}{2}\right)^2 = c^2\].
7. Распишем квадрат величины \(\left(\frac{c}{2}\right)^2\): \[12 + \frac{c^2}{4} = c^2\].
8. Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя: \[48 + c^2 = 4c^2\].
9. Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения: \[3c^2 - 48 = 0\].
10. Раскроем скобки: \[3(c^2 - 16) = 0\].
11. Решим полученное квадратное уравнение: \[c^2 - 16 = 0\].
12. Разложим левую часть на множители: \[(c - 4)(c + 4) = 0\].
13. Получаем два возможных значения гипотенузы: \(c = 4\) или \(c = -4\).
14. Так как длина стороны не может быть отрицательной, искомой длиной гипотенузы является \(c = 4\) см.

Таким образом, длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 4 см.