Какие стороны равнобедренного треугольника с периметром 2p дают наибольшую площадь? Задайте значения для p и укажите

Пчелка

68

Для решения данной задачи о равнобедренном треугольнике с периметром \(2p\) ищем значения сторон, при которых площадь будет максимальной.

Пусть сторона равнобедренного треугольника имеет длину \(x\), а основание треугольника имеет длину \(y\).

Учитывая, что периметр треугольника равен \(2p\), мы можем записать уравнение:

\[2x + y = 2p\]

Также нам известно, что площадь треугольника вычисляется по формуле:

\[S = \frac{1}{2} \cdot y \cdot h\]

Где \(h\) - высота треугольника, которую мы можем найти, используя теорему Пифагора. В равнобедренном треугольнике, проведенная из вершины, которая не лежит на основании, к основанию, является биссектрисой, а значит делит его на две равные части. Таким образом, высота равна \(h = \sqrt{x^2 - \left(\frac{y}{2}\right)^2}\).

Теперь мы можем сформулировать задачу как задачу поиска максимума площади треугольника при заданном периметре \(2p\).

Мы знаем, что площадь зависит от сторон \(x\) и \(y\). Поэтому, для нахождения максимальной площади, мы должны найти значения \(x\) и \(y\), которые максимизируют функцию площади \(S(x,y)\).

Для удобства решения, давайте выразим \(x\) через \(y\) из уравнения периметра:

\[x = p - \frac{y}{2}\]

Теперь мы можем выразить площадь через одну переменную \(y\):

\[S(y) = \frac{1}{2} \cdot y \cdot \sqrt{\left(p - \frac{y}{2}\right)^2 - \left(\frac{y}{2}\right)^2}\]

Разложим эту формулу и упростим её:

\[S(y) = \frac{1}{2} \cdot y \cdot \sqrt{y^2 - 2py + p^2 - \frac{y^2}{4}}\]
\[S(y) = \frac{1}{2} \cdot y \cdot \sqrt{\frac{3y^2}{4} - 2py + p^2}\]
\[S(y) = \frac{1}{2} \cdot y \cdot \sqrt{\frac{3y^2 - 8py + 4p^2}{4}}\]
\[S(y) = \frac{1}{2} \cdot y \cdot \sqrt{\frac{(y - 2p)^2}{4}}\]
\[S(y) = \frac{1}{2} \cdot y \cdot \frac{y - 2p}{2} = \frac{1}{4} \cdot y \cdot (y - 2p)\]

Таким образом, мы получили функцию площади \(S(y)\) (без квадратного корня), которая выражает площадь в зависимости от одной переменной \(y\).

Теперь нам нужно найти максимальное значение этой функции, выбирая оптимальное значение для \(y\) в интервале \(0 \leq y \leq 2p\).

Мы можем найти точку экстремума (максимума) путем нахождения производной функции \(S(y)\) и приравнивания ее к нулю:

\[\frac{dS}{dy} = 0\]
\[\frac{1}{4} \cdot (2y - 2p) = 0\]
\[2y - 2p = 0\]
\[y = p\]

Таким образом, мы нашли значение \(y = p\), которое соответствует максимальной площади. Подставив это значение обратно в уравнение периметра, мы можем найти значение \(x\):

\[2x + p = 2p\]
\[2x = p\]
\[x = \frac{p}{2}\]

Итак, мы получаем, что в случае равнобедренного треугольника с периметром \(2p\), стороны треугольника, дающие наибольшую площадь, имеют значения \(x = \frac{p}{2}\) и \(y = p\).

При заданном значении \(p=6\) получаем треугольник со сторонами \(x=3\) и \(y=6\).