Какие точки на графике функции f(x) = x^5 - 5x^2 + 1 имеют касательные линии, параллельные оси абсцисс?

Жемчуг

58

Чтобы найти точки на графике функции \(f(x) = x^5 - 5x^2 + 1\) с касательными линиями, параллельными оси абсцисс, необходимо найти значения \(x\), при которых производная функции равна нулю.

Первым шагом в решении этой задачи будет нахождение производной функции \(f(x)\) по переменной \(x\). Для этого возьмем каждую степень \(x\) и умножим ее на соответствующий коэффициент, затем уменьшим показатель степени на 1:

\[f"(x) = 5x^4 - 10x\]

Далее, чтобы найти точки с касательными линиями, параллельными оси абсцисс, нужно приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение:

\[5x^4 - 10x = 0\]

Факторизуем это уравнение:

\[5x(x^3 - 2) = 0\]

Отсюда видно, что \(x = 0\) или \(x^3 - 2 = 0\).

Решив уравнение \(x^3 - 2 = 0\) методом корней кубического уравнения, получим:

\[x = \sqrt[3]{2}\]

Таким образом, точки на графике функции \(f(x)\), где касательные линии параллельны оси абсцисс, это \(x = 0\) и \(x = \sqrt[3]{2}\).