Какие утверждения верны: а) многочлен степени n в сумме с другим многочленом имеет степень не выше n б) многочлен

Ледяная_Сказка

25

Для правильного ответа на данный вопрос, давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности:

а) Утверждение: "многочлен степени n в сумме с другим многочленом имеет степень не выше n".

Для проверки этого утверждения рассмотрим два произвольных многочлена: $A(x)$ и $B(x)$ степеней $n$ и $m$ соответственно.

Когда мы складываем многочлены $A(x)$ и $B(x)$, мы просто суммируем коэффициенты при одинаковых степенях $x$. Таким образом, степень полученного многочлена будет равна максимальной степени среди данных многочленов, то есть $max(n,m)$.

Таким образом, утверждение а) верно: многочлен степени $n$ в сумме с другим многочленом имеет степень не выше $n$.

б) Утверждение: "многочлен степени $n$ в разности с другим многочленом имеет степень $n$".

Опять же, рассмотрим многочлены $A(x)$ и $B(x)$ степеней $n$ и $m$ соответственно.

При вычитании многочленов $A(x)$ и $B(x)$ мы также вычитаем коэффициенты при одинаковых степенях $x$. Таким образом, степень полученного многочлена будет равна максимальной степени среди данных многочленов, то есть $max(n,m)$.

Таким образом, утверждение б) также верно: многочлен степени $n$ в разности с другим многочленом имеет степень $n$.

в) Утверждение: "многочлен степени $n$ в произведении с другим многочленом имеет степень не выше $n$".

Рассмотрим многочлены $A(x)$ и $B(x)$ степеней $n$ и $m$ соответственно.

При умножении многочленов $A(x)$ и $B(x)$ каждый член первого многочлена будет умножаться на каждый член второго многочлена. Это приводит к возникновению новых членов суммы, в которой степень каждого члена является суммой степеней соответствующих членов.

Таким образом, степень полученного многочлена будет в общем случае больше степени исходных многочленов и может быть равен сумме степеней исходных многочленов, то есть $n+m$.

Поэтому утверждение в) не верно: многочлен степени $n$ в произведении с другим многочленом может иметь степень, превышающую $n$.

г) Утверждение: "произведение двух многочленов степени $n$ имеет многочлен степени $n$ или ниже".

Поскольку произведение двух многочленов задается суммой произведений их членов, в которой каждый член умножается на каждый член другого многочлена, то степень каждого полученного члена будет суммой степеней соответствующих членов исходных многочленов.

Если степень каждого члена исходных многочленов не превышает $n$, то степень каждого полученного члена также не превышает $n$.

Таким образом, утверждение г) верно: произведение двух многочленов степени $n$ имеет многочлен степени $n$ или ниже.

В результате, верные утверждения: а) и г).