Какие утверждения верны: а) многочлен степени n в сумме с другим многочленом имеет степень не выше n б) многочлен

Ледяная_Сказка

25

Для правильного ответа на данный вопрос, давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности:

а) Утверждение: "многочлен степени n в сумме с другим многочленом имеет степень не выше n".

Для проверки этого утверждения рассмотрим два произвольных многочлена: \(A(x)\) и \(B(x)\) степеней \(n\) и \(m\) соответственно.

Когда мы складываем многочлены \(A(x)\) и \(B(x)\), мы просто суммируем коэффициенты при одинаковых степенях \(x\). Таким образом, степень полученного многочлена будет равна максимальной степени среди данных многочленов, то есть \(max(n, m)\).

Таким образом, утверждение а) верно: многочлен степени \(n\) в сумме с другим многочленом имеет степень не выше \(n\).

б) Утверждение: "многочлен степени \(n\) в разности с другим многочленом имеет степень \(n\)".

Опять же, рассмотрим многочлены \(A(x)\) и \(B(x)\) степеней \(n\) и \(m\) соответственно.

При вычитании многочленов \(A(x)\) и \(B(x)\) мы также вычитаем коэффициенты при одинаковых степенях \(x\). Таким образом, степень полученного многочлена будет равна максимальной степени среди данных многочленов, то есть \(max(n, m)\).

Таким образом, утверждение б) также верно: многочлен степени \(n\) в разности с другим многочленом имеет степень \(n\).

в) Утверждение: "многочлен степени \(n\) в произведении с другим многочленом имеет степень не выше \(n\)".

Рассмотрим многочлены \(A(x)\) и \(B(x)\) степеней \(n\) и \(m\) соответственно.

При умножении многочленов \(A(x)\) и \(B(x)\) каждый член первого многочлена будет умножаться на каждый член второго многочлена. Это приводит к возникновению новых членов суммы, в которой степень каждого члена является суммой степеней соответствующих членов.

Таким образом, степень полученного многочлена будет в общем случае больше степени исходных многочленов и может быть равен сумме степеней исходных многочленов, то есть \(n + m\).

Поэтому утверждение в) не верно: многочлен степени \(n\) в произведении с другим многочленом может иметь степень, превышающую \(n\).

г) Утверждение: "произведение двух многочленов степени \(n\) имеет многочлен степени \(n\) или ниже".

Поскольку произведение двух многочленов задается суммой произведений их членов, в которой каждый член умножается на каждый член другого многочлена, то степень каждого полученного члена будет суммой степеней соответствующих членов исходных многочленов.

Если степень каждого члена исходных многочленов не превышает \(n\), то степень каждого полученного члена также не превышает \(n\).

Таким образом, утверждение г) верно: произведение двух многочленов степени \(n\) имеет многочлен степени \(n\) или ниже.

В результате, верные утверждения: а) и г).