Какие значения аргумента приводят к отрицательному значению функции y=x²-3x/x-3 на графике?

Zhanna

33

Чтобы найти значения аргумента, при которых функция \(y = \frac{{x^2 - 3x}}{{x - 3}}\) принимает отрицательные значения на графике, нам нужно решить неравенство \(y < 0\).

Для начала, давайте проанализируем функцию, чтобы понять ее поведение и особенности. Обратите внимание, что у функции есть вертикальная асимптота при \(x = 3\), так как знаменатель в функции обращается в нуль при этом значении. Это означает, что функция не определена при \(x = 3\).

Давайте посмотрим на знак функции в трех интервалах: \((-\infty, 3)\), \((3, +\infty)\) и около точки разрыва \(x = 3\).

1. При \(x < 3\): Подставим некоторые значения \(x\) из этого интервала и вычислим значение функции \(y\).

При \(x = 2\):
\[y = \frac{{2^2 - 3 \cdot 2}}{{2 - 3}} = -1\]

При \(x = 1\):
\[y = \frac{{1^2 - 3 \cdot 1}}{{1 - 3}} = 2\]

При \(x = 0\):
\[y = \frac{{0^2 - 3 \cdot 0}}{{0 - 3}} = 0\]

Как видим, на этом интервале функция меняет знак от положительного до отрицательного.

2. При \(x > 3\): Подставим некоторые значения \(x\) из этого интервала и вычислим значение функции \(y\).

При \(x = 4\):
\[y = \frac{{4^2 - 3 \cdot 4}}{{4 - 3}} = 7\]

При \(x = 5\):
\[y = \frac{{5^2 - 3 \cdot 5}}{{5 - 3}} = 7.5\]

При \(x = 6\):
\[y = \frac{{6^2 - 3 \cdot 6}}{{6 - 3}} = 9\]

Таким образом, на этом интервале функция принимает только положительные значения.

3. Около точки разрыва \(x = 3\): Посмотрим на знак функции около этой точки, проверив значения функции справа и слева от \(x = 3\).

При \(x = 2.5\):
\[y = \frac{{2.5^2 - 3 \cdot 2.5}}{{2.5 - 3}} = 7.5\]

При \(x = 3.5\):
\[y = \frac{{3.5^2 - 3 \cdot 3.5}}{{3.5 - 3}} = -7\]

Как мы видим, функция меняет знак, когда \(x\) пересекает значение \(3\), что говорит о наличии разрыва.

Итак, на графике функции \(y = \frac{{x^2 - 3x}}{{x - 3}}\) отрицательные значения будут приниматься на интервалах \((-\infty, 3)\) и около точки разрыва \(x = 3\). Вне этих интервалов функция будет положительной.

Если у вас возникли дополнительные вопросы или вам нужно что-то еще объяснить по этой теме, пожалуйста, дайте мне знать!