Какие значения b удовлетворяют неравенству, где значения дроби (6b-1)/b не больше значений дроби (16-2b)/(9-b)?

Японка

50

Хорошо! Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Нам нужно найти значения \(b\), которые удовлетворяют неравенству:
\(\frac{{6b-1}}{{b}} \leq \frac{{16-2b}}{{9-b}}\)

2. Для начала, давайте умножим обе части неравенства на \(b(9-b)\), чтобы избавиться от знаменателей:
\(b(9-b)\cdot\frac{{6b-1}}{{b}} \leq b(9-b)\cdot\frac{{16-2b}}{{9-b}}\)

3. Сократим знаменатели и упростим выражения:
\(6b(9-b) - (9-b) \leq 16b\)

4. Раскроем скобки:
\(54b - 6b^2 - 9 + b \leq 16b\)

5. Соберем все слагаемые на одной стороне неравенства и упростим выражение:
\(-6b^2 + 55b - 9 \leq 16b\)

6. Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону и упростим:
\(-6b^2 + 39b - 9 \leq 0\)

7. Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Для начала найдем его корни, используя формулу дискриминанта:
\(D = b^2 - 4ac\), где \(a = -6\), \(b = 39\) и \(c = -9\).

8. Подставим значения в формулу дискриминанта:
\(D = (39)^2 - 4\cdot(-6)\cdot(-9) = 1521 - 216 = 1305\)

9. Обратите внимание, что дискриминант \(D\) больше нуля, поэтому имеет два корня.

10. Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения, \(b = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\), мы можем найти значения \(b\):
\(b = \frac{{-39 \pm \sqrt{1305}}}{{-12}}\)

11. Вычислим корни квадратного уравнения:
\(b_1 = \frac{{-39 + \sqrt{1305}}}{{-12}} \approx 7.37\)
\(b_2 = \frac{{-39 - \sqrt{1305}}}{{-12}} \approx 0.62\)

Ответ: Значения \(b\), удовлетворяющие неравенству, равны приблизительно 7.37 и 0.62.