Какие значения х, при которых функция пересекает оси координат в графике у=х^2-5х+1 и у=-2х^2+3х?

Timofey

68

Для нахождения значений \(x\), при которых функции пересекают оси координат, нам необходимо найти корни уравнений. Если график функции пересекает ось \(x\) в точке \((x, 0)\), то это означает, что при подстановке \(y = 0\) в уравнение функции, мы получим уравнение: \(0 = x^2 - 5x + 1\) для первой функции и \(0 = -2x^2 + 3x\) для второй функции. Давайте решим оба уравнения пошагово:

Решение для функции \(y = x^2 - 5x + 1\):

1. Подставляем \(y = 0\) в уравнение функции:
\[0 = x^2 - 5x + 1\]

2. Переносим все слагаемые на одну сторону уравнения:
\[x^2 - 5x + 1 = 0\]

3. Для решения данного квадратного уравнения мы можем использовать квадратное уравнение или, если возможно, применять факторизацию. Попробуем факторизовать это уравнение:

Мы ищем два числа, такие что их сумма равна -5, а их произведение равно 1. Заметим, что -4 и -1 обладают такими свойствами, поэтому факторизуем уравнение:
\[(x - 4)(x - 1) = 0\]

4. Применяем обратную операцию для факторизации уравнения, получая значения \(x\):
\[x - 4 = 0 \quad \text{или} \quad x - 1 = 0\]

5. Решаем оба уравнения, получая два значения \(x\):
\[x_1 = 4 \quad \text{или} \quad x_2 = 1\]

Таким образом, функция \(y = x^2 - 5x + 1\) пересекает ось координат в точках \((4, 0)\) и \((1, 0)\).

Теперь решим для функции \(y = -2x^2 + 3x\):

1. Подставляем \(y = 0\) в уравнение функции:
\[0 = -2x^2 + 3x\]

2. Переносим все слагаемые на одну сторону уравнения:
\[-2x^2 + 3x = 0\]

3. Мы видим, что уравнение содержит общий множитель \(x\). Факторизуем его:
\[x(-2x + 3) = 0\]

4. Применяем обратную операцию для факторизации уравнения, получая значения \(x\):
\[x = 0 \quad \text{или} \quad -2x + 3 = 0\]

5. Решаем второе уравнение, получая еще одно значение \(x\):
\[-2x + 3 = 0\]
\[-2x = -3\]
\[x = \frac{3}{2}\]

Таким образом, функция \(y = -2x^2 + 3x\) пересекает ось координат в точке \(\left(\frac{3}{2}, 0\right)\).

Итак, значения \(x\), при которых функции пересекают оси координат в графиках \(y = x^2 - 5x + 1\) и \(y = -2x^2 + 3x\), равны \(x_1 = 4\), \(x_2 = 1\) и \(x_3 = \frac{3}{2}\).