Какие значения k приводят к равенству между выражениями корень 129-24k и 7-2k?

Karina

55

Чтобы найти значения k, при которых выражения \( \sqrt{129-24k} \) и \( 7-2k \) равны между собой, мы должны приравнять их и решить полученное уравнение. Давайте начнем.

1. Начнем с заданного уравнения: \( \sqrt{129-24k} = 7-2k \)
2. Возведем оба выражения в квадрат, чтобы избавиться от корней. Тогда получим:
\( 129 - 24k = (7 - 2k)^2 \)
Это эквивалентно \( 129 - 24k = 49 - 28k + 4k^2 \)
3. Теперь сгруппируем все члены в правой части и приведем уравнение к виду квадратного уравнения:
\( 4k^2 - 28k + 49 = 129 - 24k \)
или \( 4k^2 - 28k + 49 - 129 + 24k = 0 \)
или \( 4k^2 - 4k - 80 = 0 \)
4. Решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта для нахождения корней:
Дискриминант (\(D\)) данного уравнения равен: \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-80) = 16 + 1280 = 1296 \)
Как мы видим, дискриминант положительный, поэтому у нас есть два различных действительных корня.
Формула для нахождения корней квадратного уравнения: \(k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a = 4\), \(b = -4\) и \(D = 1296\).
Подставим значения в формулу:
\(k = \frac{-(-4) \pm \sqrt{1296}}{2 \cdot 4}\)
или \(k = \frac{4 \pm 36}{8}\)
5. Разделим числитель на знаменатель:
Первый корень: \(k_1 = \frac{4 + 36}{8} = \frac{40}{8} = 5\)
Второй корень: \(k_2 = \frac{4 - 36}{8} = \frac{-32}{8} = -4\)
6. Таким образом, мы нашли два значения k, которые обеспечивают равенство между выражениями \( \sqrt{129-24k} \) и \( 7-2k \):
\(k_1 = 5\) и \(k_2 = -4\)

Надеюсь, это решение будет понятно для школьника. Если возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, пишите!