Какие значения координат вершин и фокусов, длины осей и эксцентриситета эллипса соответствуют уравнению 9x^2+25y^2=4?

Zvezdopad_Shaman_389

46

Для начала, давайте проанализируем уравнение эллипса в общем виде:

\[\frac{{x^2}}{{a^2}} + \frac{{y^2}}{{b^2}} = 1\]

Сравнивая это уравнение с данным уравнением \(9x^2+25y^2=4\), мы видим, что \(a^2 = \frac{4}{9}\) и \(b^2 = \frac{4}{25}\).

Теперь мы можем определить значения \(a\) и \(b\) и использовать их для вычисления остальных свойств эллипса.

Значение координат вершин эллипса может быть найдено, используя формулы \(x = \pm a\) и \(y = \pm b\). Подставляя полученные значения \(a\) и \(b\):

\(x = \pm \sqrt{\frac{4}{9}}\) и \(y = \pm \sqrt{\frac{4}{25}}\)

Таким образом, координаты вершин эллипса будут:

\((x, y) = \left(\sqrt{\frac{4}{9}}, \sqrt{\frac{4}{25}}\right)\), \((- \sqrt{\frac{4}{9}}, \sqrt{\frac{4}{25}})\), \((- \sqrt{\frac{4}{9}}, - \sqrt{\frac{4}{25}})\), \(\left(\sqrt{\frac{4}{9}}, - \sqrt{\frac{4}{25}}\right)\)

Длины осей эллипса могут быть определены как удвоенные значения \(a\) и \(b\):

Длина большой оси: \(2a = 2 \cdot \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{4}{3}\)

Длина малой оси: \(2b = 2 \cdot \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{8}{5}\)

Последнее свойство, эксцентриситет эллипса (\(e\)), можно вычислить с использованием формулы:

\[e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\]

Подставляя значения \(a\) и \(b\):

\[e = \sqrt{1 - \frac{\frac{4}{25}}{\frac{4}{9}}}\]

Упрощая это выражение, получим:

\[e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\]

Итак, значения координат вершин для данного эллипса: \(\left(\sqrt{\frac{4}{9}}, \sqrt{\frac{4}{25}}\right)\), \((- \sqrt{\frac{4}{9}}, \sqrt{\frac{4}{25}})\), \((- \sqrt{\frac{4}{9}}, - \sqrt{\frac{4}{25}})\), \(\left(\sqrt{\frac{4}{9}}, - \sqrt{\frac{4}{25}}\right)\)

Длины осей эллипса: Длина большой оси \(= \frac{4}{3}\), Длина малой оси \(= \frac{8}{5}\)

Эксцентриситет эллипса: \(e = \frac{4}{5}\)