Какие значения n являются натуральными и делают дробь (n^3 - 8)/(n+2) целым числом?

Коко

58

Для решения данной задачи, мы должны определить, какие значения n сделают дробь \(\frac{{n^3 - 8}}{{n+2}}\) целым числом.

Для того чтобы дробь была целым числом, числитель должен быть кратен знаменателю без остатка.

Таким образом, мы должны решить уравнение \(n^3 - 8\) кратное \(n+2\).

Для начала, мы можем раскрыть числитель \(n^3 - 8\) с помощью разности кубов:

\[n^3 - 8 = (n - 2)(n^2 + 2n + 4)\]

Теперь мы имеем уравнение \((n - 2)(n^2 + 2n + 4)\) кратное \(n+2\).

Рассмотрим каждый множитель отдельно:

1. \(n - 2\) должно быть кратным \(n+2\). Если разделим \(n^2 + 2n + 4\) на \(n - 2\), мы должны получить целое число без остатка.
2. \(n^2 + 2n + 4\) должно быть кратным \(n+2\). Если разделим \(n^2 + 2n + 4\) на \(n + 2\), мы должны получить целое число без остатка.

Рассмотрим первый множитель: \(n - 2\)
Мы знаем, что \(n - 2\) будет кратным \(n+2\), если разделим его на \(n+2\) и получим целое число без остатка.

Поделим \(n - 2\) на \(n+2\):

\[
\begin{align*}
\frac{{n - 2}}{{n+2}} &= \frac{{n+2 - 4}}{{n+2}} \\
&= 1 - \frac{{4}}{{n+2}}
\end{align*}
\]

Мы видим, что \(\frac{{4}}{{n+2}}\) является некоторым числом, которое мы должны найти, чтобы \(\frac{{n - 2}}{{n+2}}\) было целым числом.

Теперь рассмотрим второй множитель: \(n^2 + 2n + 4\)

Мы знаем, что \(n^2 + 2n + 4\) будет кратным \(n+2\), если разделим его на \(n+2\) и получим целое число без остатка.

Поделим \(n^2 + 2n + 4\) на \(n + 2\):

\[
\begin{align*}
\frac{{n^2 + 2n + 4}}{{n+2}} &= \frac{{n^2 + 2n + (n+2)^2 - (n+2)^2 + 4}}{{n+2}} \\
&= \frac{{(n+2)^2 - (n+2)^2 + 4}}{{n+2}} \\
&= \frac{{4}}{{n+2}}
\end{align*}
\]

Мы видим, что \(\frac{{4}}{{n+2}}\) является некоторым числом, которое мы должны найти, чтобы \(n^2 + 2n + 4\) было кратным \(n+2\) и тем самым сделало дробь целым числом.

Теперь мы имеем два выражения: \(1 - \frac{{4}}{{n+2}}\) и \(\frac{{4}}{{n+2}}\), которые должны быть целыми числами.

Исследуя эти выражения, мы видим, что \(\frac{{4}}{{n+2}}\) всегда будет целым числом, так как знаменатель \(n+2\) всегда делит числитель 4 без остатка. Следовательно, мы можем сделать вывод, что для всех значений n, когда \(n+2\) делится на 4, дробь \(\frac{{n^3 - 8}}{{n+2}}\) будет целым числом.

Таким образом, значения n, для которых дробь \(\frac{{n^3 - 8}}{{n+2}}\) является целым числом, будут все натуральные числа, такие что \(n+2\) делится на 4 без остатка.