Какие значения переменной у являются допустимыми в выражении у-1/у²-4?

Barbos

47

Чтобы определить, какие значения переменной \(y\) являются допустимыми в выражении \(\frac{y-1}{y^2-4}\), нам нужно учесть два фактора: деление на ноль и определение функции в знаменателе.

1. Деление на ноль:
Выражение содержит знаменатель \(y^2 - 4\), поэтому нам нужно исключить значения \(y\), которые приводят к нулевому знаменателю. Если \(y^2 - 4 = 0\), то значит \(y^2 = 4\). Чтобы найти значения \(y\), удовлетворяющие этому условию, возьмем квадратный корень из обеих сторон: \(y = \pm \sqrt{4}\). То есть, значения \(y = 2\) и \(y = -2\) приведут к делению на ноль, поэтому данные значения являются недопустимыми для этого выражения.

2. Определение функции в знаменателе:
Для определения допустимых значений переменной \(y\) мы должны решить неравенство \(y^2 - 4 > 0\). Это неравенство можно решить, факторизовав выражение: \((y-2)(y+2) > 0\).

Рассмотрим каждый из двух факторов по отдельности:
- Фактор \(y-2\) будет положительным, когда \(y > 2\).
- Фактор \(y+2\) будет положительным, когда \(y < -2\).

Таким образом, значения переменной \(y\), для которых выражение \(\frac{y-1}{y^2-4}\) будет определено и допустимо, должны удовлетворять следующему условию: \(y \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)\).

Итак, значения \(y\), недопустимые для выражения \(\frac{y-1}{y^2-4}\), - это \(y = -2\) и \(y = 2\). Все остальные значения \(y\) являются допустимыми для этого выражения.