Сколько способов может быть размещено 5 человек в 7 свободных местах в автобусе? С объяснением

Musya_4013

63

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать перестановки.

Перестановка представляет собой размещение объектов в определенном порядке. В данном случае, у нас есть 5 человек, которых мы должны разместить на 7 свободных местах в автобусе.

Мы можем использовать формулу для перестановок, которая будет выглядеть следующим образом:

\[
P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}
\]

где \(P(n,r)\) - количество перестановок из \(n\) объектов по \(r\) местам, \(n!\) - факториал числа \(n\).

В данной задаче, у нас есть 5 человек, которых мы размещаем на 7 свободных местах. Мы можем рассмотреть это как перестановку из 5 человек по 7 местам:

\[
P(5,7) = \frac{5!}{(5-7)!} = \frac{5!}{-2!}
\]

Однако, в формуле для перестановок, мы не можем брать факториал отрицательного числа. Здесь возникает проблема, потому что у нас больше мест, чем людей.

Чтобы решить эту проблему, мы можем ввести понятие "пустых мест в автобусе". Количество пустых мест можно вычислить, вычитая количество людей из общего количества мест:

\[
\text{{Количество пустых мест}} = \text{{Общее количество мест}} - \text{{Количество людей}}
\]

\[
\text{{Количество пустых мест}} = 7 - 5 = 2
\]

Теперь у нас есть 2 пустых места и 5 человек. Мы можем рассмотреть это как перестановку из 5 человек по 2 пустым местам:

\[
P(5,2) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3!} = 5 \times 4 = 20
\]

Таким образом, существует 20 различных способов разместить 5 человек на 7 свободных местах в автобусе.