Какие значения x из промежутка [-п;п ] удовлетворяют уравнению 6cos^2 4x+2sin 8x=5

Чудесный_Мастер_8706

56

Данное уравнение 6cos^2(4x) + 2sin(8x) = 5 является тригонометрическим уравнением, так как содержит тригонометрические функции.

Для решения данного уравнения, мы должны привести его к виду, где функции cos и sin находятся только в одной части уравнения, а другая часть равна 0.

Для начала, мы можем использовать тригонометрическую формулу cos^2(x) + sin^2(x) = 1, чтобы заменить cos^2(4x) в уравнении:

6(1 - sin^2(4x)) + 2sin(8x) = 5

Раскрыв скобки и упростив уравнение, получаем:

6 - 6sin^2(4x) + 2sin(8x) = 5

Теперь наше уравнение выглядит следующим образом:

-6sin^2(4x) + 2sin(8x) = -1

Для дальнейшего упрощения уравнения и решения его, мы можем ввести вспомогательную переменную, например, пусть t = sin(4x). Тогда мы можем выразить sin(8x) через t:

sin(8x) = 2sin(4x)cos(4x) = 2t√(1 - t^2)

Подставляя это в наше уравнение, получаем:

-6t^2 + 2(2t√(1 - t^2)) = -1

Упрощаем уравнение еще дальше:

-6t^2 + 4t√(1 - t^2) = -1

Теперь у нас есть уравнение, содержащее только одну переменную t. Давайте продолжим решение этого уравнения:

-6t^2 + 4t√(1 - t^2) = -1

Переносим все члены уравнения на одну сторону:

6t^2 - 4t√(1 - t^2) - 1 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение с переменной t. Для его решения мы можем использовать квадратную формулу:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения. В нашем случае, a = 6, b = -4√(1 - t^2) и c = -1.

Подставляем значения коэффициентов и продолжаем решение:

t = (-(-4√(1 - t^2)) ± √((-4√(1 - t^2))^2 - 4(6)(-1))) / (2(6))

Упрощаем:

t = (4√(1 - t^2) ± √(16(1 - t^2) + 24)) / 12

t = (4√(1 - t^2) ± √(16 - 16t^2 + 24)) / 12

t = (4√(1 - t^2) ± √(40 - 16t^2)) / 12

Теперь у нас есть выражение для t. Мы можем рассмотреть два случая: когда t положительное и когда t отрицательное.

1) При t > 0:

t = (4√(1 - t^2) + √(40 - 16t^2)) / 12

Подставляем sin(4x) обратно в уравнение:

sin(4x) = t > 0

Решаем это уравнение для x, используя обратную функцию sin:

4x = sin^(-1)(t)

x = (1/4)sin^(-1)(t)

2) При t < 0:

t = (4√(1 - t^2) - √(40 - 16t^2)) / 12

Подставляем sin(4x) обратно в уравнение:

sin(4x) = t < 0

Решаем это уравнение для x, используя обратную функцию sin:

4x = π - sin^(-1)(|t|)

x = (1/4)(π - sin^(-1)(|t|))

Обратите внимание, что решение зависит от значения t. Все значения x, которые удовлетворяют условию, находятся в пределах интервала [-π; π].

Таким образом, ответом на данную задачу будет множество всех значений x из промежутка [-π; π], для которых выполняется одно из двух условий:

x = (1/4)sin^(-1)(t), где t > 0

x = (1/4)(π - sin^(-1)(|t|)), где t < 0