Какие значения x приводят к значению производной функции f(x) = x+ln(2x-1) равному 0? 1) -1/2 2) 0 3) 1 4) 1/2 Один

Луна_В_Облаках_5179

22

Чтобы найти значения x, при которых производная функции \(f(x) = x + \ln(2x-1)\) равна 0, мы должны найти такие значения x, при которых касательная линия к графику функции \(f(x)\) будет горизонтальной. Если у нас есть точки на графике, где касательные линии горизонтальны, это означает, что производная функции в этих точках равна 0.

Давайте начнем с нахождения производной функции \(f(x)\). Применим правило производной для функции суммы:
\[\frac{d}{dx} (x + \ln(2x-1)) = \frac{d}{dx} x + \frac{d}{dx} \ln(2x-1)\]

Производная постоянного слагаемого x равна 1:
\[\frac{d}{dx} x = 1\]

Чтобы найти производную натурального логарифма \(\ln(2x-1)\), мы применим правило производной сложной функции. Правило состоит в том, чтобы взять производную внешней функции и умножить на производную внутренней функции:
\[\frac{d}{dx} \ln(2x-1) = \frac{1}{2x-1} \cdot \frac{d}{dx} (2x-1)\]

Производная от \(2x-1\) равна 2:
\[\frac{d}{dx} (2x-1) = 2\]

Теперь, объединяя все выражения, получим:
\[\frac{d}{dx} (x + \ln(2x-1)) = 1 + \frac{1}{2x-1} \cdot 2\]

Упрощая это выражение, получим:
\[\frac{d}{dx} (x + \ln(2x-1)) = 1 + \frac{2}{2x-1}\]

Таким образом, мы получили выражение для производной функции \(f(x) = x + \ln(2x-1)\).

Теперь нам нужно найти значения x, при которых производная равна 0. Подставляя 0 в выражение для производной, получаем:
\[1 + \frac{2}{2x-1} = 0\]

Для того чтобы уравнение было верным, второе слагаемое должно быть равно -1, так как первое слагаемое равно 1. Решаем уравнение относительно \(2x-1\):
\[\frac{2}{2x-1} = -1\]

Умножаем обе части уравнения на \(2x-1\):
\[2 = -(2x-1)\]

Раскрываем скобки:
\[2 = -2x + 1\]

Теперь переносим слагаемые на разные стороны уравнения:
\[2x = -1\]

Делим обе части уравнения на 2:
\[x = -\frac{1}{2}\]

Таким образом, мы нашли решение уравнения и значение x, при котором производная функции \(f(x) = x + \ln(2x-1)\) равна 0. Ответ: 1) -1/2.