Какие значения x удовлетворяют уравнению: (x+8)/(x-4) - 4/(x-8) = (2x-56)/(x-4)(x-8)?

Ledyanoy_Volk

69

Для решения данного уравнения сначала приведем все слагаемые к общему знаменателю, чтобы упростить уравнение. Общий знаменатель будет (x-4)(x-8), так как это произведение обоих знаменателей:

\(\frac{{(x+8)}}{{(x-4)}} - \frac{{4}}{{(x-8)}} = \frac{{(2x-56)}}{{(x-4)(x-8)}}\) (1)

Умножим первое слагаемое на \(\frac{{x-8}}{{x-8}}\) и второе слагаемое на \(\frac{{x-4}}{{x-4}}\), чтобы привести к общему знаменателю:

\(\frac{{(x+8)(x-8)}}{{(x-4)(x-8)}} - \frac{{4(x-4)}}{{(x-4)(x-8)}} = \frac{{(2x-56)}}{{(x-4)(x-8)}}\) (2)

Теперь раскроем скобки в числителях и сократим выражения с одинаковыми знаменателями:

\(\frac{{x^2 - 64 - 4x + 32}}{{(x-4)(x-8)}} - \frac{{4x-16}}{{(x-4)(x-8)}} = \frac{{2x-56}}{{(x-4)(x-8)}}\) (3)

Приведем подобные слагаемые:

\(\frac{{x^2 - 4x - 32 + 4x - 32x + 128}}{{(x-4)(x-8)}} = \frac{{2x-56}}{{(x-4)(x-8)}}\) (4)

Упростим числитель в левой части уравнения:

\(\frac{{x^2 - 32x + 96}}{{(x-4)(x-8)}} = \frac{{2x-56}}{{(x-4)(x-8)}}\) (5)

Так как знаменатель одинаковый, можно сократить его на обеих сторонах уравнения:

\(x^2 - 32x + 96 = 2x - 56\) (6)

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

\(x^2 - 32x - 2x + 96 + 56 = 0\) (7)

Упростим выражение:

\(x^2 - 34x + 152 = 0\) (8)

Теперь можно решить это квадратное уравнение. Можно применить формулу дискриминанта, чтобы найти корни уравнения:

Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), где a = 1, b = -34, c = 152.

\(D = (-34)^2 - 4(1)(152) = 1156 - 608 = 548\)

Поскольку дискриминант положительный, у уравнения есть два действительных корня.

Формула корней: \(x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\)

Подставим значения a = 1, b = -34, c = 152:

\(x = \frac{{34 \pm \sqrt{548}}}{{2}}\)

Проведя вычисления, получим:

\(x_1 = \frac{{34 + \sqrt{548}}}{{2}}\) и \(x_2 = \frac{{34 - \sqrt{548}}}{{2}}\)

\(x_1 \approx 30.75\) и \(x_2 \approx 3.25\)

Таким образом, уравнение \( \frac{{(x+8)}}{{(x-4)}} - \frac{{4}}{{(x-8)}} = \frac{{(2x-56)}}{{(x-4)(x-8)}} \) имеет два значения, которые удовлетворяют ему: \( x_1 \approx 30.75 \) и \( x_2 \approx 3.25 \).