Какие значения являются максимальным и минимальным для функции y=x^-5 + 1 на интервале [2;3]?

Sladkaya_Siren

45

Чтобы найти максимальное и минимальное значение функции \(y = x^{-5} + 1\) на интервале \([2;3]\), нужно проанализировать поведение этой функции на данном интервале. Для начала, давайте найдем производную функции, чтобы понять, где она возрастает и убывает.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по \(x\):
\[
\frac{{dy}}{{dx}} = -5x^{-6}
\]

Шаг 2: Чтобы выяснить, когда функция возрастает или убывает, мы можем проанализировать знак производной.

На интервале \([2;3]\) значение \(x^{-6}\) всегда положительно, и поскольку мы умножаем его на -5, производная будет отрицательной для всех значений \(x\) на данном интервале. Это означает, что функция \(y\) убывает на всем интервале \([2;3]\).

Шаг 3: Определяем крайние значения функции \(y\) на интервале \([2;3]\).

Так как функция \(y\) убывает на всем интервале \([2;3]\), наименьшим значением функции будет значение в точке \(x = 3\), а наибольшим значением функции будет значение в точке \(x = 2\). Подставим эти значения в функцию \(y\) для получения ответа.

Когда \(x = 2\):
\[
y = 2^{-5} + 1 = \frac{1}{32} + 1 = \frac{33}{32}
\]

Когда \(x = 3\):
\[
y = 3^{-5} + 1 = \frac{1}{243} + 1 = \frac{244}{243}
\]

Таким образом, минимальным значением функции \(y\) на интервале \([2;3]\) является \(\frac{33}{32}\), а максимальным значением - \(\frac{244}{243}\).

Мы провели анализ поведения функции на данном интервале и с использованием производной определили, что она убывает на всем интервале. Затем мы вычислили значения функции в крайних точках интервала, чтобы получить итоговый ответ.