Каким образом может быть определено НОД (a;b), где a = 2n + 18, b = 2n + 21, и n принадлежит

Ледяная_Пустошь

42

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел \(a\) и \(b\), мы можем использовать алгоритм Евклида. Данный алгоритм позволяет нам последовательно находить НОД двух чисел путем вычисления остатка от деления одного числа на другое и замены чисел новыми значениями.

Так как в данной задаче значения \(a\) и \(b\) заданы в виде \(a = 2n + 18\) и \(b = 2n + 21\), мы можем начать с подстановки этих выражений в алгоритм Евклида.

1. Найдем остаток от деления \(a\) на \(b\):
\[
\begin{align*}
a &= (2n + 18)\\
b &= (2n + 21)\\
\end{align*}
\]
Применим деление с остатком:
\[
\begin{align*}
a &= bq_1 + r_1\\
(2n + 18) &= (2n + 21)q_1 + r_1\\
\end{align*}
\]
где \(q_1\) - частное, а \(r_1\) - остаток от деления \(a\) на \(b\).

2. Найдем НОД \((b, r_1)\) (т.е. новое \(b\) и полученный остаток \(r_1\))

3. Продолжим алгоритм Евклида, последовательно находя новые остатки от деления и НОДы, пока остаток от деления не станет равным 0. На этом этапе мы будем иметь последний ненулевой остаток и это будет являться НОДом чисел \(a\) и \(b\).

Давайте применим алгоритм Евклида к нашей задаче:

\textbf{Шаг 1:}

\[
\begin{align*}
(2n + 21) &= (2n + 18) \cdot 1 + 3\\
\end{align*}
\]

\textbf{Шаг 2:}

Теперь мы должны найти НОД \((2n + 18, 3)\). Чтобы это сделать, мы повторяем шаги алгоритма Евклида с новыми значениями \(b = 3\) и \(r_1 = 3\).

\[
\begin{align*}
3 &= (2n + 18) \cdot 1 + (-15)\\
\end{align*}
\]

\textbf{Шаг 3:}

Теперь мы должны найти НОД \((2n + 18, -15)\). Чтобы это сделать, мы повторяем шаги алгоритма Евклида с новыми значениями \(b = -15\) и \(r_1 = -15\).

\[
\begin{align*}
(-15) &= (2n + 18) \cdot 0 + (-15)\\
\end{align*}
\]

\textbf{Шаг 4:}

Теперь мы должны найти НОД \((2n + 18, -15)\). Чтобы это сделать, мы повторяем шаги алгоритма Евклида с новыми значениями \(b = -15\) и \(r_1 = -15\).

\[
\begin{align*}
0 &= (2n + 18) \cdot \text{{любое целое число}} + 0\\
\end{align*}
\]

Как видно, последний ненулевой остаток равен 0. НОД чисел \(a\) и \(b\) составляет значение последнего ненулевого остатка. В данном случае, НОД \((a, b) = 3\).

Таким образом, точный и обоснованный ответ на задачу заключается в следующем. НОД чисел \(a = 2n + 18\) и \(b = 2n + 21\) равен 3.