Каким образом можно привести дроби t^2/t^2−y^2 и t−y/4t+4y к общему знаменателю?

Solnechnyy_Svet

49

Чтобы привести дроби \(\frac{{t^2}}{{t^2-y^2}}\) и \(\frac{{t-y}}{{4t+4y}}\) к общему знаменателю, нужно найти их наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей и затем изменить числители так, чтобы оба дроби имели одинаковый знаменатель.

Давайте рассмотрим каждую дробь по отдельности.

1. Дробь \(\frac{{t^2}}{{t^2-y^2}}\) имеет знаменатель \(t^2-y^2\). Это является разностью квадратов, поэтому мы можем представить его в виде произведения суммы и разности квадратов:
\[t^2-y^2 = (t-y)(t+y).\]

2. Дробь \(\frac{{t-y}}{{4t+4y}}\) имеет знаменатель \(4t+4y\). Мы можем заметить, что знаменатель можно представить в виде произведения 4 и суммы \(t+y\):
\[4t+4y = 4(t+y).\]

Теперь, чтобы привести дроби к общему знаменателю, нам нужно умножить каждую дробь на подходящий множитель, который даст им общий знаменатель. Общий знаменатель будет представлен произведением знаменателей обеих дробей.

Так как знаменатель первой дроби равен \((t-y)(t+y)\), а знаменатель второй дроби равен \(4(t+y)\), общим знаменателем будет произведение этих двух выражений:
\[Общий\,знаменатель = (t-y)(t+y) \cdot 4(t+y).\]

Теперь давайте домножим числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители, чтобы привести их к общему знаменателю.

Первая дробь:
\[\frac{{t^2}}{{t^2-y^2}} = \frac{{t^2 \cdot 4(t+y)}}{{(t^2-y^2) \cdot 4(t+y)}} = \frac{{4t^2(t+y)}}{{(t-y)(t+y) \cdot 4(t+y)}}.\]

Вторая дробь:
\[\frac{{t-y}}{{4t+4y}} = \frac{{(t-y) \cdot (t-y)}}{{4(t+y) \cdot (t-y)}} = \frac{{(t-y)^2}}{{(t-y)(t+y) \cdot 4(t+y)}}.\]

Теперь у нас есть две дроби с общим знаменателем \((t-y)(t+y) \cdot 4(t+y)\):
\[\frac{{4t^2(t+y)}}{{(t-y)(t+y) \cdot 4(t+y)}}\]
\[\frac{{(t-y)^2}}{{(t-y)(t+y) \cdot 4(t+y)}}.\]

Общий знаменатель позволяет сложить или вычитать дроби. Если вам нужно сложить эти две дроби, вы можете просто сложить их числители и записать результат с общим знаменателем:
\[\frac{{4t^2(t+y) + (t-y)^2}}{{(t-y)(t+y) \cdot 4(t+y)}}.\]

Если вам нужно вычесть эти две дроби, вы можете вычесть их числители и записать результат с общим знаменателем:
\[\frac{{4t^2(t+y) - (t-y)^2}}{{(t-y)(t+y) \cdot 4(t+y)}}.\]

Таким образом, мы привели дроби \(\frac{{t^2}}{{t^2-y^2}}\) и \(\frac{{t-y}}{{4t+4y}}\) к общему знаменателю \((t-y)(t+y) \cdot 4(t+y)\) и представили их в виде одной дроби с общим знаменателем.