Постройте прямые и укажите координаты точек пересечения данных линий: 1) Найти точки пересечения для системы уравнений

Vechnaya_Zima

55

1) Найдем точки пересечения для системы уравнений \(2x-y=4\) и \(y=6\).

Заметим, что во втором уравнении \(y\) уже известно - оно равно 6. Подставим это значение в первое уравнение:

\[2x - 6 = 4\]

Теперь решим это уравнение относительно \(x\):

\[2x = 4 + 6\]
\[2x = 10\]
\[x = 10/2\]
\[x = 5\]

Таким образом, координаты точки пересечения этих двух прямых: (5, 6).

2) Найдем точки пересечения для системы уравнений \(x+y=4\) и \(x=2\).

Во втором уравнении \(x\) уже известно - оно равно 2. Подставим это значение в первое уравнение:

\[2 + y = 4\]

Теперь решим это уравнение относительно \(y\):

\[y = 4 - 2\]
\[y = 2\]

Таким образом, координаты точки пересечения этих двух прямых: (2, 2).

3) Найдем координаты точек пересечения для системы уравнений \(3x+y=3\) и \(x-y=1\).

Мы имеем два уравнения, которые не выражают \(x\) или \(y\) явно. Воспользуемся методом подстановки.

Сначала решим второе уравнение относительно \(x\):

\[x = 1 + y\]

Подставим это значение в первое уравнение:

\[3(1+y) + y = 3\]

Раскроем скобки:

\[3 + 3y + y = 3\]

Соберем все члены с \(y\) вместе:

\[4y + 3 = 3\]

Вычтем 3 из обеих частей уравнения:

\[4y = 0\]

Разделим обе части на 4:

\[y = 0\]

Теперь найдем значение \(x\) с использованием второго уравнения:

\[x = 1 + y\]
\[x = 1 + 0\]
\[x = 1\]

Таким образом, координаты точки пересечения этих двух прямых: (1, 0).

4) Определим координаты точек пересечения для системы уравнений \(2x-3y=6\) и \(x-y=0\).

Используем метод сложения или вычитания этих уравнений.

Умножим второе уравнение на 2, чтобы избавиться от коэффициента 2 перед \(x\):

\[
\begin{align*}
2(x-y) &= 2(0) \\
2x-2y &= 0
\end{align*}
\]

Теперь сложим это новое уравнение с первым уравнением:

\[
\begin{align*}
2x-3y &= 6 \\
2x-2y &= 0 \\
\hline
-3y &= 6
\end{align*}
\]

Разделим обе части последнего уравнения на -3:

\[
y = -2
\]

Теперь найдем значение \(x\) с использованием второго уравнения:

\[
x - y = 0
\]

Подставим известное значение \(y\):

\[
x - (-2) = 0
\]

Упрощаем:

\[
x + 2 = 0
\]

Вычтем 2 из обеих частей уравнения:

\[
x = -2
\]

Таким образом, координаты точки пересечения этих двух прямых: (-2, -2).