Какое число было стёрто Вероникой, если последовательность отрицательных чисел, написанная на доске учительницей, имеет

Турандот

37

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Нам дана последовательность отрицательных чисел, где каждое последующее число в одно и то же количество раз больше предыдущего числа. Фактически, каждое число в последовательности можно представить в виде произведения предыдущего числа на некоторую константу.

Для удобства, давайте обозначим первое число в последовательности как \(a\), а константу, на которую умножается каждое число, как \(k\). Таким образом, второе число будет равно \(a \cdot k\), третье - \(a \cdot k \cdot k\), четвёртое - \(a \cdot k \cdot k \cdot k\), и так далее.

У нас есть информация о пятом и третьем числе последовательности. Заметим, что пятое число равно \(-108\), а третье число равно \(-972\).

Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти значения \(a\) и \(k\). Воспользуемся соответствующими позициями в последовательности:

Третье число: \(a \cdot k \cdot k = -972\).

Пятое число: \(a \cdot k \cdot k \cdot k \cdot k \cdot k = -108\).

Делением второго уравнения на первое получим:

\(\frac{{a \cdot k \cdot k \cdot k \cdot k \cdot k}}{{a \cdot k \cdot k}} = \frac{{-108}}{{-972}}\).

Сокращаем общие члены:

\(k \cdot k \cdot k \cdot k = \frac{{-108}}{{-972}}\).

\(\frac{{k^4}}{{k^2}} = \frac{{-108}}{{-972}}\).

Упрощаем:

\(k^2 = 12\).

Теперь найдём значение \(k\):

\(\sqrt{k^2} = \sqrt{12}\).

\(k = 2\sqrt{3}\).

Теперь, когда у нас есть значение \(k\), мы можем использовать его, чтобы найти \(a\). Для этого воспользуемся уравнением:

\(a \cdot k \cdot k \cdot k \cdot k = -108\).

Подставляем значение \(k = 2\sqrt{3}\) и решаем уравнение:

\(a \cdot (2\sqrt{3})^4 = -108\).

\(a \cdot 48 = -108\).

\(a = \frac{-108}{48}\).

\(a = -\frac{9}{4}\).

Таким образом, первое число последовательности равно \(-\frac{9}{4}\), а каждое последующее число можно найти, умножив предыдущее число на \(2\sqrt{3}\).