Пожалуйста, помогите мне найти сумму следующих бесконечно убывающих геометрических прогрессий: 1) 12, 4, 4/3

Svetlyy_Mir

38

Конечно! Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии у нас есть формула, которую мы можем использовать.

Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

\[S = \frac{a}{1 - r},\]

где \(a\) - первый член прогрессии и \(r\) - знаменатель прогрессии.

1) Для прогрессии 12, 4, 4/3...

Первый член прогрессии (\(a\)) равен 12, а знаменатель (\(r\)) равен 4/12, так как каждый следующий член получается путем деления предыдущего на 3. Поэтому \(r = \frac{4}{12}\) или в упрощенной форме \(r = \frac{1}{3}\).

Теперь мы можем подставить значения в формулу суммы и решить:

\[S = \frac{12}{1 - \frac{1}{3}}.\]

Чтобы получить \(1 - \frac{1}{3}\), мы должны сначала вычислить дробь:

\[ \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.\]

Теперь мы можем продолжить с нашим выражением:

\[\frac{12}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{12}{\frac{2}{3}}.\]

Чтобы разделить на дробь, мы можем умножить числитель на обратную дробь:

\[\frac{12}{\frac{2}{3}} = 12 \cdot \frac{3}{2} = \frac{12 \cdot 3}{2} = \frac{36}{2} = 18.\]

Таким образом, сумма первой бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 18.

2) Для прогрессии 100, -10, 1...

Аналогично, чтобы найти сумму этой прогрессии, мы используем ту же формулу, но с другими значениями \(a\) и \(r\).

Первый член (\(a\)) равен 100, а знаменатель (\(r\)) равен -10/100, так как каждый следующий член получается путем деления предыдущего на -10. Имеем \(r = \frac{-10}{100}\) или в упрощенной форме \(r = -\frac{1}{10}\).

Теперь мы подставляем значения в формулу:

\[S = \frac{100}{1 - \frac{-1}{10}}.\]

Для получения \(1 - \frac{-1}{10}\) мы должны сначала вычислить дробь:

\[\frac{-1}{10} = \frac{1}{10} \cdot -1 = -\frac{1}{10}.\]

Теперь мы можем продолжить:

\[\frac{100}{1 - \frac{-1}{10}} = \frac{100}{1 + \frac{1}{10}}.\]

Чтобы сложить две дроби, мы должны найти общий знаменатель:

\(1 + \frac{1}{10} = \frac{10}{10} + \frac{1}{10} = \frac{11}{10}.\)

Таким образом:

\[\frac{100}{1 + \frac{1}{10}} = \frac{100}{\frac{11}{10}}.\]

Для деления на дробь умножим числитель на обратную дробь:

\[\frac{100}{\frac{11}{10}} = 100 \cdot \frac{10}{11} = \frac{100 \cdot 10}{11} = \frac{1000}{11}.\]

Поэтому сумма второй бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна \(\frac{1000}{11}\).

3) Для прогрессии 98

Если прогрессия состоит только из одного члена, сумма будет равна этому члену. Таким образом, сумма третьей прогрессии равна 98.