Какое число нужно умножить на векторы параллелограмма, чтобы получить верные равенства, а также укажите пару векторов

Эмилия

36

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо понять свойства параллелограмма и линейной комбинации векторов.

Параллелограмм - это четырехугольник, все стороны которого параллельны попарно и равны между собой. Если у нас есть два вектора, которые образуют стороны параллелограмма, то мы можем использовать их для выражения остальных двух векторов через линейные комбинации.

Пусть у нас есть векторы \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\), которые образуют стороны параллелограмма. Нам нужно найти число \(k\), на которое нужно умножить каждый из этих векторов, чтобы получить рассматриваемые равенства.

Мы можем выразить оставшиеся два вектора через линейные комбинации векторов \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\).

Пусть \(\vec{C}\) и \(\vec{D}\) - векторы параллелограмма, которые мы хотим выразить через \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\).

Тогда \(\vec{C}\) может быть выражено следующим образом:

\(\vec{C} = k\vec{A} + l\vec{B}\)

Аналогично, \(\vec{D}\) может быть выражено следующим образом:

\(\vec{D} = m\vec{A} + n\vec{B}\)

Где \(k, l, m, n\) - коэффициенты, которые нужно найти.

Теперь нам нужно определить значения этих коэффициентов. Для этого мы можем использовать условия, заданные в задаче.

Если равенство \(\vec{C} + \vec{D} = \vec{A} + \vec{B}\) должно быть верным, то мы можем записать это следующим образом:

\(k\vec{A} + l\vec{B} + m\vec{A} + n\vec{B} = \vec{A} + \vec{B}\)

Объединяя подобные слагаемые и группируя векторы \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\), мы получим:

\((k + m)\vec{A} + (l + n)\vec{B} = \vec{A} + \vec{B}\)

Сравнивая коэффициенты при векторах \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\), мы получаем следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
k + m = 1 \\
l + n = 1
\end{cases}
\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Вычитая второе уравнение из первого, мы получим:

\(k - l + m - n = 0\)

Если мы примем \(l = 0\) и \(n = 0\), то получим \(k = 1\) и \(m = 1\), что удовлетворяет этому уравнению.

Таким образом, число, на которое нужно умножить каждый из векторов параллелограмма, чтобы получить верное равенство \(\vec{C} + \vec{D} = \vec{A} + \vec{B}\), равно 1.

А пара векторов \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\) образует стороны данного параллелограмма.