Какое число Петя точно назвал, после того как Лена вычислила все попарные суммы пяти натуральных чисел, написанных

Васька

41

Чтобы решить эту задачу, следует разобраться в конкретных шагах, которые выполняла Лена.

По условию задачи, Паша написал пять натуральных чисел. Лена вычислила все попарные суммы этих чисел. Поэтому у нас есть три различных значения сумм: 43, 54, и неизвестное число.

Для решения задачи, найдем пять различных чисел, суммы которых дают значения 43 и 54, а также неизвестное число, которое является названным Петей.

Предположим, что пять чисел Пашей, о которых говорит задача, обозначим как \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), и \(x\). Тогда у нас имеются следующие суммы:

\[a + b = 43 \quad (1)\]
\[a + c = x \quad (2)\]
\[a + d = 54 \quad (3)\]
\[b + c = x \quad (4)\]
\[b + d = 43 \quad (5)\]
\[c + d = 54 \quad (6)\]

Мы должны решить эти уравнения системы, чтобы определить значения всех чисел. Для этого сгруппируем уравнения (1), (3), и (5), исключая \(a\) и \(b\):

\[(1) - (3) \implies (a + b) - (a + d) = 43 - 54 \implies b - d = -11 \quad (7)\]
\[(1) + (5) \implies (a + b) + (b + d) = 43 + 43 \implies 2a + 2b = 86 \quad (8)\]

Теперь, сгруппируем уравнения (2), (4), и (6) для исключения \(a\) и \(c\):

\[(2) + (4) \implies (a + c) + (b + c) = x + x \implies a + 2c + b = 2x \quad (9)\]
\[(2) + (6) \implies (a + c) + (c + d) = x + 54 \implies a + 2c + d = x + 54 \quad (10)\]

Мы видим, что уравнения (9) и (10) имеют общие слагаемые \(a + 2c\), поэтому вычтем уравнение (10) из уравнения (9):

\[(9) - (10) \implies (a + 2c + b) - (a + 2c + d) = 2x - (x + 54) \implies -d + b = x - 54 \quad (11)\]

Теперь у нас есть выражение для \(x\) в уравнении (7) и (11). Для нахождения значения \(x\), сложим уравнение (7) и (11):

\[(7) + (11) \implies (b - d) + (-d + b) = -11 + (x - 54) \implies 2b - 2d = x - 65 \quad (12)\]

Поскольку мы знаем, что \(a\), \(b\), \(c\), и \(d\) являются натуральными числами, мы можем рассмотреть возможные значения для \(b\) и \(d\), которые соответствуют условиям задачи:

1. Если \(b = 28\) и \(d = 17\), подставим эти значения в уравнение (12):
\[2 \cdot 28 - 2 \cdot 17 = x - 65 \implies 56 - 34 = x - 65 \implies 22 = x - 65 \implies x = 87\]

Таким образом, Петя точно назвал число 87.

2. Если \(b = 17\) и \(d = 28\), аналогично подставим значения в уравнение (12):
\[2 \cdot 17 - 2 \cdot 28 = x - 65 \implies 34 - 56 = x - 65 \implies -22 = x - 65 \implies x = 43\]

Однако, по условию задачи, число \(x\) должно быть различным от 43. Поэтому, это решение не является корректным.

Таким образом, Петя точно назвал число 87.