Какое количество изделий каждого типа необходимо произвести, чтобы достичь максимальной прибыли, если цена первого

Karamel

1

Для решения этой задачи нам потребуется найти количество изделий каждого типа, при котором достигается максимальная прибыль.

Для начала, давайте выразим функцию прибыли.
Пусть x - количество первого типа изделий, y - количество второго типа изделий. Тогда функция прибыли будет выглядеть следующим образом:

Прибыль = (Цена первого изделия * количество первого изделия) + (Цена второго изделия * количество второго изделия) - Затраты

Подставим значения цен и функции затрат в данное выражение и упростим его:

Прибыль = (4x) + (5y) - (2x^2 + 2xy + 2y^2 - 5)

Теперь у нас есть функция прибыли, и наша задача - найти значения x и y, при которых эта функция достигает максимального значения.

Для этого нам потребуется найти частные производные функции прибыли по переменным x и y, и приравнять их к нулю:

dПрибыль/dx = 4 - 4x - 2y = 0
dПрибыль/dy = 5 - 2x - 4y = 0

Решая эту систему уравнений, мы найдем значения x и y:

4 - 4x - 2y = 0 (1)
5 - 2x - 4y = 0 (2)

Умножим уравнение (1) на 2 и сложим его с уравнением (2):

8 - 8x - 4y + 5 -2x - 4y = 0
13 - 10x - 8y = 0

8x + 4y = 13 (3)

Умножим уравнение (1) на 4 и сложим его с уравнением (3):

16 - 16x - 8y + 8x + 4y = 0
16 - 4y = 0
4y = 16
y = 4

Подставим значение y в уравнение (1):

4 - 4x - 8 = 0
-4x - 4 = 0
-4x = 4
x = -1

Таким образом, оптимальное количество первого изделия -1, а второго изделия 4.

Теперь, чтобы найти максимальную прибыль, подставим найденные значения x и y в функцию прибыли:

Прибыль = (4*(-1)) + (5*4) - (2*(-1)^2 + 2*(-1)*4 + 2*4^2 - 5)
= -4 + 20 - (2 - 8 + 32 - 5)
= -4 + 20 - (21)
= -4 + 20 - 21
= -5

Таким образом, максимальная прибыль составляет -5 рублей.