1) Каков диапазон значений, для которых функция определена, если y = 3 / (2x + 1)? 2) Каково множество значений
1) Каков диапазон значений, для которых функция определена, если y = 3 / (2x + 1)?
2) Каково множество значений, для которых функция определена, если y = sqrt(16 - x^2)?
2) Каково множество значений, для которых функция определена, если y = sqrt(16 - x^2)?
Скат 43
Конечно! Давайте начнем с первой задачи.1) Функция \(y = \frac{3}{{2x + 1}}\) определена, если знаменатель этой дроби не равен нулю. Для того чтобы найти диапазон значений \(x\), для которых функция определена, мы должны исключить значения, при которых знаменатель равен нулю.
У нас есть знаменатель \(2x + 1\), который не может быть равен нулю. Решим уравнение \(2x + 1 = 0\) относительно \(x\). Вычитая 1 из обеих сторон уравнения, мы получаем:
\[2x = -1\]
Затем делим обе части уравнения на 2:
\[x = -\frac{1}{2}\]
Значит, функция \(y = \frac{3}{{2x + 1}}\) не определена при \(x = -\frac{1}{2}\), так как знаменатель обращается в ноль при этом значении.
Следовательно, диапазон значений \(x\) для которых функция определена, является любым числом, кроме \(x = -\frac{1}{2}\). В математической нотации это можно записать как:
\[x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, +\infty)\]
Теперь перейдем ко второй задаче.
2) Функция \(y = \sqrt{16 - x^2}\) определена только тогда, когда выражение под корнем больше или равно нулю. Поскольку мы имеем квадрат в этой функции, то значения \(x\) должны быть такими, чтобы \(16 - x^2\) было больше или равно нулю.
Найдем интервалы значений \(x\), при которых \(16 - x^2 \geq 0\).
Для начала найдем корни этого уравнения:
\[16 - x^2 = 0\]
\[x^2 = 16\]
\[x = \pm 4\]
Таким образом, функция будет определена при \(x = -4\) и \(x = 4\).
Посмотрим, как меняется выражение \(16 - x^2\) в зависимости от \(x\). Если \(x < -4\) или \(x > 4\), то \(16 - x^2\) будет положительно, так как число, возведенное в квадрат, всегда неотрицательно. Однако, если \(-4 \leq x \leq 4\), то выражение \(16 - x^2\) будет меньше или равно нулю.
Таким образом, множество значений \(x\), для которых функция определена, можно записать как:
\[x \in [-4, 4]\]
Поскольку функция изначально является функцией квадратного корня, она не определена для отрицательных значений. Поэтому, множество значений функции \(y\) будет:
\[y \in [0, +\infty)\]