Какое количество ключей заработали игроки А и В, С и М, Т и К, если они получили в сумме 21 ключ? Каждый игрок

Магический_Космонавт

44

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Дано, что игроки А и В, С и М, Т и К получили в сумме 21 ключ. Пусть количество ключей, полученных игроком А, обозначим как \(a\), количество ключей, полученных игроком В, обозначим как \(b\), и аналогично обозначим количество ключей, полученных игроками С, М, Т и К.

Так как каждый игрок получил разное количество ключей, имеем следующие неравенства:

\[a \neq b,\]
\[c \neq m,\]
\[t \neq k.\]

По условию, игрок С заработал больше всех, а игрок М - меньше всех. То есть,

\[c > a, c > b, c > m, c > t, c > k,\]
\[m < a, m < b, m < c, m < t, m < k.\]

Также известно, что один игрок получил четное количество ключей, а другой - нечетное. Поэтому у нас есть два случая:

1) Если игрок А получил четное количество ключей, то игрок В должен получить нечетное количество ключей, и наоборот.

2) Если игрок С получил четное количество ключей, то игрок М должен получить нечетное количество ключей, и наоборот.

Количество ключей, полученное игроками В и Т, равно количеству ключей, полученному игроком К. Обозначим количество ключей, полученных игроком Т, как \(t_1\), и количество ключей, полученных игроком К, как \(k_1\). Тогда имеем следующее равенство:

\[b + t_1 = k_1.\]

Теперь мы можем составить систему уравнений и неравенств, используя все условия задачи:

\[
\begin{align*}
a + b + c + m + t + k &= 21, \\
a &\neq b, \\
c &\neq m, \\
t &\neq k, \\
c &> a, c > b, c > m, c > t, c > k, \\
m &< a, m < b, m < c, m < t, m < k, \\
b + t_1 &= k_1.
\end{align*}
\]

Теперь решим систему уравнений и неравенств в порядке указанных условий.

Учитывая, что \(c > a\) и \(c > b\), а также \(m < a\) и \(m < b\), ищем возможные значения для \(c\) и \(m\) по возрастанию. Подходящие значения, которые удовлетворяют условию, это \(c = 10\) и \(m = 1\).

Тогда система уравнений и неравенств примет вид:

\[
\begin{align*}
a + b + 10 + 1 + t + k &= 21, \\
a &\neq b, \\
10 &> a, 10 > b, 10 > t, 10 > k, \\
1 &< a, 1 < b, 1 < t, 1 < k, \\
b + t_1 &= k_1.
\end{align*}
\]

Не теряя общности, допустим, что \(a > b\), тогда возможны следующие комбинации значений для \(a\) и \(b\):
\((a,b) = (9, 2), (8, 3), (7, 4), (6, 5)\).

Рассмотрим каждую комбинацию по очереди:

1) Пусть \(a = 9\) и \(b = 2\). Тогда из последнего уравнения получаем: \(2 + t_1 = k_1\). Возможные значения пары \((t_1,k_1)\) для указанного уравнения это \((5,7)\) или \((3,5)\).

2) Пусть \(a = 8\) и \(b = 3\). Из последнего уравнения получаем: \(3 + t_1 = k_1\). Возможные значения пары \((t_1,k_1)\) для указанного уравнения это \((4,7)\) или \((2,5)\).

3) Пусть \(a = 7\) и \(b = 4\). Из последнего уравнения получаем: \(4 + t_1 = k_1\). Возможные значения пары \((t_1,k_1)\) для указанного уравнения это \((3,7)\) или \((1,5)\).

4) Пусть \(a = 6\) и \(b = 5\). Из последнего уравнения получаем: \(5 + t_1 = k_1\). Возможные значения пары \((t_1,k_1)\) для указанного уравнения это \((2,7)\).

Итак, мы получаем четыре возможных комбинации значений для \(a\), \(b\), \(t_1\) и \(k_1\):

1) \(a = 9\), \(b = 2\), \(t_1 = 5\), \(k_1 = 7\).

2) \(a = 9\), \(b = 2\), \(t_1 = 3\), \(k_1 = 5\).

3) \(a = 8\), \(b = 3\), \(t_1 = 4\), \(k_1 = 7\).

4) \(a = 8\), \(b = 3\), \(t_1 = 2\), \(k_1 = 5\).

Теперь, зная значения для \(a\), \(b\), \(t_1\) и \(k_1\), мы можем вычислить все остальные значения.

1) При \(a = 9\), \(b = 2\), \(t_1 = 5\), \(k_1 = 7\) имеем:

\(a + b + c + m + t + k = 9 + 2 + 10 + 1 + 5 + 7 = 34\).

Таким образом, игрок А получил 9 ключей, игрок В - 2 ключа, игрок С - 10 ключей, игрок М - 1 ключ, игрок Т - 5 ключей и игрок К - 7 ключей.

2) При \(a = 9\), \(b = 2\), \(t_1 = 3\), \(k_1 = 5\) имеем:

\(a + b + c + m + t + k = 9 + 2 + 10 + 1 + 3 + 5 = 30\).

Таким образом, игрок А получил 9 ключей, игрок В - 2 ключа, игрок С - 10 ключей, игрок М - 1 ключ, игрок Т - 3 ключа и игрок К - 5 ключей.

3) При \(a = 8\), \(b = 3\), \(t_1 = 4\), \(k_1 = 7\) имеем:

\(a + b + c + m + t + k = 8 + 3 + 10 + 1 + 4 + 7 = 33\).

Таким образом, игрок А получил 8 ключей, игрок В - 3 ключа, игрок С - 10 ключей, игрок М - 1 ключ, игрок Т - 4 ключа и игрок К - 7 ключей.

4) При \(a = 8\), \(b = 3\), \(t_1 = 2\), \(k_1 = 5\) имеем:

\(a + b + c + m + t + k = 8 + 3 + 10 + 1 + 2 + 5 = 29\).

Таким образом, игрок А получил 8 ключей, игрок В - 3 ключа, игрок С - 10 ключей, игрок М - 1 ключ, игрок Т - 2 ключа и игрок К - 5 ключей.

Таким образом, мы нашли все возможные комбинации значений для количества ключей, полученных каждым игроком:

1) Игрок А - 9 ключей, игрок В - 2 ключа, игрок С - 10 ключей, игрок М - 1 ключ, игрок Т - 5 ключей, игрок К - 7 ключей.

2) Игрок А - 9 ключей, игрок В - 2 ключа, игрок С - 10 ключей, игрок М - 1 ключ, игрок Т - 3 ключа, игрок К - 5 ключей.

3) Игрок А - 8 ключей, игрок В - 3 ключа, игрок С - 10 ключей, игрок М - 1 ключ, игрок Т - 4 ключа, игрок К - 7 ключей.

4) Игрок А - 8 ключей, игрок В - 3 ключа, игрок С - 10 ключей, игрок М - 1 ключ, игрок Т - 2 ключа, игрок К - 5 ключей.

Ответ на задачу: в каждом из указанных случаев игроки получили определенное количество ключей.