Какое количество семизначных телефонных номеров, начинающихся на 721 и имеющих все различные цифры?

Zolotoy_Gorizont

47

Давай решим данную задачу пошагово.

Шаг 1: Вычислим количество вариантов для каждой позиции номера.
На первой позиции у нас только один вариант - цифра 7, так как номер должен начинаться с 721.
На второй позиции у нас 9 вариантов, так как мы используем все цифры от 0 до 9, кроме уже использованной 7.
На третьей позиции у нас также 9 вариантов, так как мы всё ещё не используем цифру 7 и цифру, которая была на второй позиции.
На четвёртой позиции и далее у нас уже 8 вариантов, поскольку мы продолжаем не использовать цифры, которые уже использовали.

Шаг 2: Посчитаем количество вариантов для каждой позиции номера.
У нас 7 позиций в номере, поэтому умножим все количество вариантов для каждой позиции.
\(1 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 136,080\).

Шаг 3: Удалим из полученного числа "лишние" номера.
Мы знаем, что номера должны начинаться с 721. Так как наши номера семизначные, а первые три цифры уже заданы, остаются 4 позиции, для которых мы посчитали количество вариантов. Таким образом, у нас есть \(136,080\) вариантов номеров, но нам нужно учесть только те номера, в которых остальные 4 цифры различны.

Шаг 4: Посчитаем количество вариантов для оставшихся 4 позиций.
На четвёртой позиции у нас 7 вариантов (все цифры от 0 до 9, кроме уже использованных 7, 2 и 1).
На пятой, шестой и седьмой позициях у нас по 6 вариантов.

Шаг 5: Умножим количество вариантов для оставшихся 4 позиций и получим итоговое количество номеров.
\(7 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 1,512\).

Итак, итоговое количество семизначных номеров, начинающихся на 721 и имеющих все различные цифры, равно 1,512.