Какое количество треугольников можно построить, если одна из вершин находится в точке А, в узлах квадратной сетки?

Скорпион

27

Когда мы строим треугольники, важно понимать, что каждый треугольник образуется при выборе трех вершин. Таким образом, нам нужно выбрать три вершины из всех возможных вершин на сетке, чтобы построить треугольник.

Давайте рассмотрим квадратную сетку. Предположим, что она имеет размер \(n \times n\), где \(n\) - положительное целое число. Таким образом, на каждой стороне сетки будет \(n+1\) вершин.

Чтобы построить треугольник, нам нужно выбрать одну вершину в точке А, расположенной на сетке. Затем мы выбираем две другие вершины из оставшихся вершин на сетке.

Так как вершина А уже выбрана, у нас остается \((n+1)^2 - 1\) вершин для выбора двух других вершин. Но нам нужно обратить внимание на то, что порядок выбора вершин не важен.

Это значит, что выбирая, например, вершины B и C, равносильно выбору вершин C и B. Таким образом, мы получаем \(C((n+1)^2 - 1, 2)\) возможных комбинаций вершин для построения треугольников.

Здесь \(C(n, k)\) обозначает число сочетаний n по k и вычисляется по формуле:

\[C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Подставим значения в формулу:

\[C((n+1)^2 - 1, 2) = \frac{((n+1)^2 - 1)!}{2!(((n+1)^2 - 1) - 2)!}\]

Упрощаем выражение:

\[C((n+1)^2 - 1, 2) = \frac{(n^2 + 2n)^2 \cdot ((n+1)^2 - 1)((n+1)^2 - 2)}{2}\]

Таким образом, общее количество треугольников, которые можно построить, если одна из вершин находится в точке А на сетке размером \(n \times n\), равно:

\[\frac{(n^2 + 2n)^2 \cdot ((n+1)^2 - 1)((n+1)^2 - 2)}{2}\]

Мы можем подставить в эту формулу любое положительное целое число \(n\), чтобы получить конкретное количество треугольников, которые можно построить на сетке.