Какое количество вариантов есть для сидения на скамейке, если двое друзей всегда сидят вместе?

David

53

Данная задача предполагает решение с использованием комбинаторики. При решении мы будем рассматривать позиции для каждого из друзей на скамейке.

Предположим, у нас есть скамейка с \(n\) позициями и двое друзей, которые всегда сидят рядом. Первый друг может занять любую позицию на скамейке, за исключением последней позиции, так как его второй друг всегда должен сидеть рядом.

При фиксированном подходе первого друга к посадке, имеющееся количество вариантов для посадки второго друга будет зависеть от расположения первого друга на скамейке. Рассмотрим два случая:

1. Если первый друг занял первую позицию на скамейке, то для второго друга останется \(n-2\) возможных позиции, поскольку первая и вторая позиции уже заняты.
2. Если первый друг занял любую позицию от второй до предпоследней, то для второго друга будет доступно \(n-3\) возможные позиции, поскольку две соседние позиции уже заняты.

Теперь мы можем перейти к подсчету всех вариантов, учитывая оба случая:

1. Первый случай: если первый друг занимает первую позицию, у нас есть \(n-2\) возможных позиции для второго друга.
2. Второй случай: если первый друг занимает любую позицию от второй до предпоследней, у нас есть \(n-3\) возможные позиции для второго друга.

Таким образом, общее количество вариантов для сидения на скамейке будет равно количеству вариантов из первого случая плюс количество вариантов из второго случая:

\[ Общее \; количество \; вариантов = (n-2) + (n-3) = 2n - 5\]

Итак, количество вариантов для сидения на скамейке, если двое друзей всегда сидят вместе, равно \(2n - 5\).