Какое количество восьмизначных натуральных чисел существует, где каждая цифра, кроме крайних, равна произведению своих

Надежда

17

Чтобы решить эту задачу, мы должны рассмотреть различные ситуации для каждой позиции числа. Давайте пройдемся поэтапно.

Первая позиция:
У нас есть ограничение на первую цифру числа. Она не может быть нулем, поскольку нуль умноженный на что-либо даст всегда ноль. Таким образом, только цифры от 1 до 9 могут занимать первую позицию.

Последняя позиция:
Поскольку мы говорим о восьмизначных числах, последняя цифра может быть любой цифрой от 0 до 9.

Остальные шесть позиций:
Теперь мы должны рассмотреть остальные шесть позиций числа, и для каждой позиции есть два возможных варианта: цифра, которая будет положена в эту позицию, будет равна произведению двух соседних цифр, либо нет.

Для каждой позиции, кроме крайних, у нас есть два варианта: цифра равна произведению соседних или нет. Таким образом, всего у нас есть \(2^6 = 64\) возможных комбинации для шести позиций.

Теперь, чтобы рассчитать общее количество восьмизначных натуральных чисел, удовлетворяющих заданным условиям, необходимо умножить количество вариантов для первой позиции (9 вариантов), последней позиции (10 вариантов) и шести позиций в середине (64 варианта):

\[9 \cdot 64 \cdot 10 = 5760\]

Таким образом, существует 5760 восьмизначных натуральных чисел, где каждая цифра, кроме крайних, равна произведению своих соседних цифр.